Juego de leyes de los exponentes

¿Qué son las leyes de los exponentes?

Las leyes de los exponentes son atajos para combinar potencias con la misma base, el número que se multiplica. Al multiplicar esas potencias se suman los exponentes, al dividirlas se restan, y en una potencia de una potencia se multiplican. Las potencias de 10 lo dejan claro: 10³ × 10² = 1000 × 100 = 100000, un 1 con cinco ceros, es decir, 10⁵.

Ejemplo: ¿qué potencia de 8 es 8⁷ : 8⁴?

1. Las dos potencias tienen base 8, así que el resultado también es una potencia de 8 y solo falta su exponente.
2. Escríbelo como fracción: siete ochos multiplicados arriba y cuatro abajo. Cada 8 de abajo se simplifica con uno de arriba, y quedan tres.
3. Es la resta 7 − 4 = 3, así que 8⁷ : 8⁴ = 8³.
4. Escribe 3, el exponente, en el teclado, y no 512, que es el valor de 8³.

Consejos y errores frecuentes

• Cada ley baja un escalón en la escalera de las operaciones: multiplicar potencias es sumar exponentes, dividirlas es restar, y elevar una potencia a otra es multiplicar.
• Un error común es multiplicar también las bases: 3² × 3⁴ es 3⁶, no 9⁶. Compruébalo con valores: 9 × 81 = 729, y 3⁶ también da 729.
• Juego de cartas para casa: se sacan dos exponentes, por ejemplo 4 y 6, y gana quien diga antes el nuevo exponente al multiplicar, al dividir y al elevar: 10, 2 y 24.

— Respuestas rápidas —

Leyes de exponentes: el FAQ exprés

¿Qué es la potencia de una potencia?

La regla de la potencia de una potencia dice que, al elevar una potencia a otro exponente, los exponentes se multiplican: (a^m)ⁿ = a^{(m × n)}. Por ejemplo, (5²)³ son tres copias de 5² multiplicadas entre sí, 5² × 5² × 5². Sumar 2 tres veces da 6, y 2 × 3 es el camino corto, así que el resultado es 5⁶.

¿Cómo se simplifican potencias de la misma base?

Primero comprueba las bases, porque estas leyes solo funcionan cuando coinciden. Después mira la operación entre las potencias: una multiplicación pide sumar los exponentes, una división pide restarlos y un exponente fuera del paréntesis pide multiplicarlos. Con bases distintas, como 2³ × 3², ninguna ley las combina, así que calculas cada potencia: 8 × 9 = 72.

¿A qué edad se aprenden las propiedades de las potencias?

En muchos sistemas escolares, estas leyes llegan entre los 11 y los 14 años, más o menos, cuando los cuadrados y los cubos ya resultan familiares. Los dos niveles de aquí están pensados para los 13 años. Importa menos el curso que el hábito: quien sabe reconstruir cada ley a partir de multiplicaciones repetidas no necesita memorizarla.

¿Por qué mi hijo suma los exponentes en (2³)⁴?

La regla del producto suele aprenderse primero, así que dos exponentes juntos parecen pedir una suma. Escribir el paréntesis completo lo aclara: (2³)⁴ es 2³ × 2³ × 2³ × 2³, cuatro grupos de tres doses, o sea, doce doses. Por eso el resultado es 2¹², no 2⁷. Con números reales se confirma: 8⁴ = 4096, y 2¹² también da 4096.

¿Mis alumnos pueden jugar gratis a este juego de exponentes en clase?

Sí: abre la página en cualquier navegador de los portátiles o tabletas del aula y los dos niveles son gratis, sin registros ni descargas. Para practicar las propiedades de las potencias, escribe 3¹² en el centro de la pizarra. Los alumnos llegan a él con cada ley, por ejemplo 3⁵ × 3⁷, 3¹⁵ : 3³ o (3⁴)³. Con el plan para colegios, con precio por alumno, un panel docente muestra quién gana rapidez con los exponentes.