Hvad er forskellen på en permutation og en kombination?

Forskellen er, om det giver et nyt resultat at bytte om på to valgte ting. I en permutation gør det, som i en dørkode, hvor 1-2-3 og 3-2-1 er to forskellige koder. I en kombination gør det ikke, som med spillekortene på din hånd. Ud af 4 bogstaver er ₄P₃ = 24, men ₄C₃ = 4, fordi hver gruppe på 3 bogstaver kan stilles i 6 rækkefølger.

Hvordan regner man kombinationer ud uden lommeregner?

Tæl de ordnede valg, og del med antallet af måder at ordne hver gruppe på. For ₇C₃ er der 7 × 6 × 5 = 210 ordnede valg af tre. Hver gruppe på tre kan ordnes på 3 × 2 × 1 = 6 måder, så ₇C₃ = 210 : 6 = 35. Det går hurtigere at forkorte først: 6-tallet foroven går ud med 6-tallet forneden, og tilbage står 7 × 5 = 35.

Findes der et trick til at finde kombinationer hurtigt?

Ja, Pascals trekant rummer alle kombinationer. Start med et 1-tal øverst, og skriv hvert nyt tal som summen af de to over det. Række 6, når den øverste række tælles som række 0, lyder 1, 6, 15, 20, 15, 6 og 1, så ₆C₃ = 20. Rækken er symmetrisk, så ₆C₄ = ₆C₂ = 15: at vælge 4, der skal blive, er det samme som at vælge 2, der skal ud.

Hvorfor blander elever permutationer og kombinationer sammen?

Elever blander dem sammen, fordi de to spørgsmål ofte lyder ens, og opgaven ikke altid siger, om rækkefølgen tæller. Et lille eksempel gør det klart. Ud af A, B og C er parrene AB, AC og BC, så ₃C₂ = 3. De ordnede valg er de tre plus BA, CA og CB, så ₃P₂ = 6. At se de to lister side om side får forskellen til at sidde fast.

Findes der en gratis måde at bringe kombinatorik ind i undervisningen?

Ja, her: alle tre niveauer, også den olympiske blanding, åbner gratis i enhver browser, uden elevkonti og uden installation. For at øve optælling ved tavlen henter du 5 frivillige op og spørger, hvor mange udvalg på 3 de kan danne. Spørg derefter, på hvor mange måder de kan fordele formand, sekretær og kasserer. Svarene, 10 og 60, viser, at hvert udvalg har 6 rækkefølger. Med skoleabonnementet, prissat per elev, viser et dashboard læreren, hvem der bliver bedre.

Matematiktræning · genopfundet

Spil med kombinatorik

I denne kombinatorikudfordring vælger du aldrig mellem mere end 8 ting, og alligevel går svarene fra 4 til 1680, værdien af ₈P₄ på olympisk niveau. Klar hver optælling før din modstander, og hvert rigtigt svar bliver til et slag fra din kæmper.

Alder 4–99+ · ingen download · spilles i din browser · 23 sprog

Vælg dit niveau ▸

Hvad er permutationer og kombinationer?

Permutationer og kombinationer er to måder at tælle valg på uden at skrive dem alle op. En kombination er en gruppe, hvor rækkefølgen er ligegyldig: æble og pære er det samme par som pære og æble. En permutation er en ordnet række: at spise æblet først og pæren bagefter er noget andet end omvendt.

Alle niveauer i Kombinatorik

Eksempel: hvor mange par kan du vælge blandt 6?

Symbolet ₆C₂ spørger, hvor mange forskellige par du kan vælge blandt 6 ting, når rækkefølgen er ligegyldig.
Vælger du i rækkefølge, har du 6 muligheder for den første og 5 for den anden: 6 × 5 = 30 ordnede valg.
Hvert par er talt to gange, som A og så B og som B og så A, så du tager halvdelen af 30 og taster 15.

Lær det trin for trin

nCk tæller, hvor mange måder man kan VÆLGE k ting ud af n på, når rækkefølgen er ligegyldig — som at udvælge et hold, hvor det er lige meget, hvem der nævnes først.

5C2 ("vælg 2 ud af 5") = 10. Formlen er n! : (k! × (n−k)!), men idéen er simpelthen: hvor mange forskellige grupper kan du danne?

Tast antallet af mulige grupper.

Tips og typiske fejl

I ₆P₃ fortæller det lille 3-tal, hvor mange tal du ganger, nedad fra 6: 6 × 5 × 4 = 120. Stop der, ikke først ved 1.
En almindelig fejl er at tælle begge rækkefølger i en kombination. Skriver du AB og BA hver for sig ved ₄C₂, får du 12; stryg dubletterne, så er der 6 par tilbage.
Spørg ved familiemiddagen, hvor mange håndtryk der bliver, hvis alle hilser på alle andre én gang. Syv personer giver 21, altså ₇C₂, og hver ny gæst lægger flere til.

Sådan spiller du

Hver runde viser et symbol som ₇C₃ eller ₄P₂: det lille tal til venstre siger, hvor mange ting der er, og det til højre, hvor mange du vælger. Tast resultatet på tastaturet, og kig først på bogstavet, for det olympiske niveau blander C og P. Kun det første rigtige svar rammer, og Broccoli slår hårdere, jo tidligere det kommer.

— Hurtige svar —

Kombinatorik: den korte FAQ

Hvad er forskellen på en permutation og en kombination?: Forskellen er, om det giver et nyt resultat at bytte om på to valgte ting. I en permutation gør det, som i en dørkode, hvor 1-2-3 og 3-2-1 er to forskellige koder. I en kombination gør det ikke, som med spillekortene på din hånd. Ud af 4 bogstaver er ₄P₃ = 24, men ₄C₃ = 4, fordi hver gruppe på 3 bogstaver kan stilles i 6 rækkefølger.
Hvordan regner man kombinationer ud uden lommeregner?: Tæl de ordnede valg, og del med antallet af måder at ordne hver gruppe på. For ₇C₃ er der 7 × 6 × 5 = 210 ordnede valg af tre. Hver gruppe på tre kan ordnes på 3 × 2 × 1 = 6 måder, så ₇C₃ = 210 : 6 = 35. Det går hurtigere at forkorte først: 6-tallet foroven går ud med 6-tallet forneden, og tilbage står 7 × 5 = 35.
Findes der et trick til at finde kombinationer hurtigt?: Ja, Pascals trekant rummer alle kombinationer. Start med et 1-tal øverst, og skriv hvert nyt tal som summen af de to over det. Række 6, når den øverste række tælles som række 0, lyder 1, 6, 15, 20, 15, 6 og 1, så ₆C₃ = 20. Rækken er symmetrisk, så ₆C₄ = ₆C₂ = 15: at vælge 4, der skal blive, er det samme som at vælge 2, der skal ud.
Hvorfor blander elever permutationer og kombinationer sammen?: Elever blander dem sammen, fordi de to spørgsmål ofte lyder ens, og opgaven ikke altid siger, om rækkefølgen tæller. Et lille eksempel gør det klart. Ud af A, B og C er parrene AB, AC og BC, så ₃C₂ = 3. De ordnede valg er de tre plus BA, CA og CB, så ₃P₂ = 6. At se de to lister side om side får forskellen til at sidde fast.
Findes der en gratis måde at bringe kombinatorik ind i undervisningen?: Ja, her: alle tre niveauer, også den olympiske blanding, åbner gratis i enhver browser, uden elevkonti og uden installation. For at øve optælling ved tavlen henter du 5 frivillige op og spørger, hvor mange udvalg på 3 de kan danne. Spørg derefter, på hvor mange måder de kan fordele formand, sekretær og kasserer. Svarene, 10 og 60, viser, at hvert udvalg har 6 rækkefølger. Med skoleabonnementet, prissat per elev, viser et dashboard læreren, hvem der bliver bedre.

Mere matematik at mestre

Klar til at gå i kamp?

Spil gratis ▸