Hvad betyder dx i et integral?

I et integral angiver dx den variabel, du lægger sammen langs, og står for en lillebitte bredde i x. Så ∫ 6x² dx læses som en sum af strimler, hver 6x² høj og dx bred. Gør strimlerne tyndere og tyndere, og deres sum bliver det præcise areal. Uden dx ville integralet ikke sige, hvilken vej der skal skæres.

Hvordan udregner man et bestemt integral?

Et bestemt integral udregnes i tre trin. Find en stamfunktion, altså en funktion, hvis afledte er funktionen inde i integralet. Sæt den øvre grænse ind, og træk værdien ved den nedre grænse fra. For 2x fra 1 til 3 er x² en stamfunktion, så 9 − 1 = 8. I dette spil er den nedre grænse altid 0, hvor disse stamfunktioner er 0.

Hvordan husker man potensreglen for integration?

Tænk på sokker og sko: Du tager sokkerne på først, men skoene af først. Differentiation ganger med eksponenten og sænker den så med én, så integration gør de trin om i omvendt rækkefølge: Eksponenten stiger med én, og derefter divideres der med den nye eksponent. Så 12x³ bliver til 3x⁴, og differentierer du 3x⁴, får du 12x³ igen.

Hvad er den mest almindelige fejl ved integration ved substitution?

Den mest almindelige fejl er at glemme tallet foran x inde i parentesen. I ∫(3x + 2)⁴ dx giver det at hæve eksponenten (3x + 2)⁵ divideret med 5, men parentesen vokser 3 gange så hurtigt som x, så du skal også dividere med 3. Nævneren er 3 × 5 = 15, ikke 5. Differentierer du (3x + 2)⁵ / 15, får du præcis (3x + 2)⁴ tilbage.

Hvad koster det at bruge dette spil om integralregning i undervisningen?

Ingenting: Alle tre niveauer, fra enkelte potenser til substitution, åbner i en browserfane på skolens bærbare eller tablets, uden elevkonti. For at øve integration ved tavlen kan du bede grupper om funktioner, hvis areal fra 0 til 2 er præcis 8. Konstanten 4, linjen 4x og kurven 3x² passer alle, med tre helt forskellige former. Med skoleabonnementet, der betales per elev, viser et lærerdashboard, hvem der bliver bedre til integraler.

Matematiktræning · genopfundet

Spil med integraler

I dette spil om integraler starter hvert areal ved x = 0 og stopper ved 2 eller 3, og substitutionsniveauet beder kun om en nævner. Din modstander integrerer den samme kurve, så hvert skridt, du sparer, får din kæmper til at slå først.

Alder 4–99+ · ingen download · spilles i din browser · 23 sprog

Vælg dit niveau ▸

Hvad er et integral?

Et integral lægger en størrelse sammen, der hele tiden ændrer sig. Ligger en kurve over x-aksen, giver det bestemte integral arealet under den mellem to værdier af x, kaldet grænserne. Forestil dig en graf over en bils fart under en tur: Arealet under grafen er den strækning, bilen har kørt.

Alle niveauer i Integral

Eksempel: ∫(0→2) (3x² + 8x + 5) dx

Integrer ét led ad gangen: 3x² bliver til x³, 8x bliver til 4x², og det enlige 5-tal bliver til 5x.
Sæt den øvre grænse, x = 2, ind i x³ + 4x² + 5x: Det giver 8 + 16 + 10 = 34.
Ved den nedre grænse, x = 0, er hvert led 0, så der trækkes intet fra, og du taster 34.

Lær det trin for trin

Integration er differentiation baglæns — den lægger bittesmå skiver sammen for at finde AREALET under en kurve.

Potensreglen vendes om: ∫axⁿ dx = a·xⁿ⁺¹/(n+1) — hæv eksponenten med én, og dividér så med den nye eksponent. For ∫2x dx fra 0 til 3: det er x² beregnet i 3 → 9.

Integrér, beregn i den øvre grænse (den nedre er 0 her), og tast arealet.

Tips og typiske fejl

Læs symbolerne som en sætning: ∫ er et langt S for »sum«, og dx er en meget lille bredde. Så ∫ 6x² dx betyder at lægge tynde strimler med højden 6x² sammen.
En almindelig fejl er at gange med den nye eksponent i stedet for at dividere. 6x² integreres til 2x³, ikke 18x³; differentier dit svar, og du bør få 6x² tilbage.
Tegn linjen y = x fra 0 til 6 på ternet papir, og tæl tern under den. Trekanten dækker 18, præcis som x²/2 ved 6 forudsiger.

Sådan spiller du

På de to første niveauer viser hver runde et areal, der skal findes, fx ∫(0→3) 8x³ dx, og du taster det hele tal, det giver, på tastaturet: 162. Substitutionsniveauet viser ∫(2x+5)³ dx og vil kun have nævneren i svaret: 8. Svar før din modstander, så slår Gulerod til, og hårdere jo tidligere du rammer rigtigt.

— Hurtige svar —

Integral: den korte FAQ

Hvad betyder dx i et integral?: I et integral angiver dx den variabel, du lægger sammen langs, og står for en lillebitte bredde i x. Så ∫ 6x² dx læses som en sum af strimler, hver 6x² høj og dx bred. Gør strimlerne tyndere og tyndere, og deres sum bliver det præcise areal. Uden dx ville integralet ikke sige, hvilken vej der skal skæres.
Hvordan udregner man et bestemt integral?: Et bestemt integral udregnes i tre trin. Find en stamfunktion, altså en funktion, hvis afledte er funktionen inde i integralet. Sæt den øvre grænse ind, og træk værdien ved den nedre grænse fra. For 2x fra 1 til 3 er x² en stamfunktion, så 9 − 1 = 8. I dette spil er den nedre grænse altid 0, hvor disse stamfunktioner er 0.
Hvordan husker man potensreglen for integration?: Tænk på sokker og sko: Du tager sokkerne på først, men skoene af først. Differentiation ganger med eksponenten og sænker den så med én, så integration gør de trin om i omvendt rækkefølge: Eksponenten stiger med én, og derefter divideres der med den nye eksponent. Så 12x³ bliver til 3x⁴, og differentierer du 3x⁴, får du 12x³ igen.
Hvad er den mest almindelige fejl ved integration ved substitution?: Den mest almindelige fejl er at glemme tallet foran x inde i parentesen. I ∫(3x + 2)⁴ dx giver det at hæve eksponenten (3x + 2)⁵ divideret med 5, men parentesen vokser 3 gange så hurtigt som x, så du skal også dividere med 3. Nævneren er 3 × 5 = 15, ikke 5. Differentierer du (3x + 2)⁵ / 15, får du præcis (3x + 2)⁴ tilbage.
Hvad koster det at bruge dette spil om integralregning i undervisningen?: Ingenting: Alle tre niveauer, fra enkelte potenser til substitution, åbner i en browserfane på skolens bærbare eller tablets, uden elevkonti. For at øve integration ved tavlen kan du bede grupper om funktioner, hvis areal fra 0 til 2 er præcis 8. Konstanten 4, linjen 4x og kurven 3x² passer alle, med tre helt forskellige former. Med skoleabonnementet, der betales per elev, viser et lærerdashboard, hvem der bliver bedre til integraler.

Mere matematik at mestre

Klar til at gå i kamp?

Spil gratis ▸