數學練習 · 全新體驗
向量遊戲
這款向量數學遊戲裡，箭頭會以 ⟨24, 7⟩ 這樣的數對出現，或用長度和角度表示，每個答案都是 −24 到 162 之間的整數。對手還在平方、相加時你就先答對，你的鬥士立刻出手。
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什麼是向量？
向量是同時有大小和方向的量，用箭頭來表示。時速 20 km 的風，在你說出它往北吹之前，只是一個速率；一說出方向，它就成了向量。兩支箭頭只要長度相同、方向一致，不論從哪裡出發，都是同一個向量。
例題：⟨24, 7⟩ 的長度
- ⟨24, 7⟩ 兩旁的直線表示要求它的長度：箭頭向右走 24，向上走 7。
- 把每個分量自己乘自己：24 × 24 = 576，7 × 7 = 49。
- 兩個平方相加得 625，再找哪個數自乘等於 625：答案是 25。
- 箭頭長 25，只比橫向的 24 多一點，所以輸入 25。
一步一步學
一個向量 ⟨x, y⟩ 是一支箭頭：橫向走 x 步，往上走 y 步。它的大小就是這支箭頭從起點到尖端直直量過去有多「長」。
既然橫向那一步和往上那一步形成直角，這支箭頭就是直角三角形的斜邊 — 所以它的長度是 √(x2 + y2)，也就是畢氏定理。以 ⟨3, 4⟩ 為例：√(9 + 16) = √25 = 5。（這些都被挑成讓長度總是整數。）
把每一部分平方、相加、取平方根，輸入長度。
小提示與常見錯誤
- 想像 θ = 0°：箭頭平躺在 x 軸上，所以 x 就是整個長度 r。因為 cos 0° = 1，x 和 cos 一組，y 和 sin 一組。
- 常見的錯誤是把兩個分量直接相加：⟨12, 9⟩ 的長度不是 21，因為筆直的箭頭會斜著抄近路。正確算法是 144 + 81 = 225，√225 = 15。
- 在地板上練習向量加法：走 6 塊地磚，轉一個直角，再走 8 塊，就是 ⟨6, 0⟩ + ⟨0, 8⟩ = ⟨6, 8⟩。拉一條繩子回到起點，剛好 10 塊地磚長。
怎麼玩
向量會用三種樣子出現：|⟨21, 20⟩| 要求長度，答 29；r=10, θ=120°, x=? 要按減號鍵答 −5；⟨7, 2⟩ · ⟨3, 9⟩ 要求內積，答 39。答案都是整數，比對手先在鍵盤輸入，辣椒 就會出擊，答得越快，打得越重。
— 快問快答 —
向量：精簡 FAQ
- 兩個向量的內積代表什麼？
- 內積用一個數說明兩個向量的方向有多一致：它等於兩個向量的長度相乘，再乘上夾角的餘弦。夾角小於 90° 時為正，成直角時為 0，大於 90° 時為負。⟨2, 6⟩ 和 ⟨3, −1⟩ 的內積是 2 × 3 + 6 × (−1) = 0，所以兩者互相垂直。遊戲裡每個分量都在 1 到 9 之間，因此內積一定是正數。
- 極坐標要怎麼換成直角坐標？
- 要得到直角坐標，就用長度 r 乘 cos θ 得到 x，乘 sin θ 得到 y。極坐標用距離和角度標出一個點，直角坐標則用橫向和縱向的移動。r = 12、θ = 30° 時，y = 12 × sin 30° = 12 × ½ = 6。遊戲只用偶數的 r，以及正弦或餘弦為 0、½ 或 1 的角，有時帶負號，所以結果一定是整數。
- 有沒有快速求向量長度的訣竅？
- 最快的訣竅是認出向量背後的畢氏數：三個整數，前兩個的平方和等於第三個的平方。遊戲裡的向量全都來自五組畢氏數，例如 5、12、13 和 8、15、17，或是它們的倍數。所以 ⟨16, 12⟩ 是 ⟨4, 3⟩ 的 4 倍，長度就是 4 × 5 = 20。
- 為什麼我算出的 x 分量是負的？
- 只要角度超過 90°，負的 x 就是正確答案，因為這時箭頭指向起點的左邊。因為 cos 120° = −½，r = 8、θ = 120° 時 x = 8 × (−½) = −4；到了 180°，x 就是整段長度再加上負號。用減號鍵輸入就行。這裡的 y 永遠不會是負的，因為沒有超過 180° 的角。
- 這款向量數學遊戲免費嗎？課堂上可以怎麼用？
- 免費，三個向量關卡在任何瀏覽器都能玩，不必註冊，也不用安裝。暖身時可以問全班：分量都是整數、長度剛好是 13 的箭頭共有幾支？學生兩人一組去找，例如 ⟨5, 12⟩ 和 ⟨−13, 0⟩，直到 12 支全部找齊；從同一點畫出來，箭頭尖端剛好落在一個圓上。學校方案按學生人數計價，老師可以在儀表板上看出誰在進步。