數學練習 · 全新體驗
數列與級數遊戲
這場數列與級數挑戰要你一次加完多達40項的等差級數，最高一級則是ex的級數，其中x7要除以5040。一項一項地加實在太慢：誰先算出正確的和，誰的鬥士就先出手。
4–99+ 歲皆宜 · 免下載 · 直接在瀏覽器中遊玩 · 23 種語言
數學裡的級數是什麼？
級數就是一個數列的和：把一列依序排好的數（每個數叫作項）全部加起來，得到一個總數。數列 3, 5, 7, 9 有四項，而級數 3 + 5 + 7 + 9 是一個數：24。級數可長可短，甚至可以無窮無盡；很多時候，用公式就能直接求出總和，不必逐項相加。
例題：1 + 2 + 4 + ⋯ 共5項
- 每一項都是前一項的2倍，所以這5項是1、2、4、8和16。
- 逐項相加：1 + 2 = 3，再算 3 + 4 = 7、7 + 8 = 15、15 + 16 = 31。
- 用這個規律的捷徑檢查：25 = 32，和比它少1，也就是31。
- 和是31，所以在鍵盤上輸入31。
一步一步學
A series is what you get when you add a sequence up. Adding evenly-spaced numbers one at a time is slow, and there is a much better way.
The story goes that a schoolboy named Gauss was told to add 1 to 100 and answered almost at once. He had noticed that the numbers pair up from the outside in: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101. Fifty pairs, each worth 101, giving 5050.
The general rule is the same idea: S = n × (a₁ + aₙ) ÷ 2. Read it as "how many terms, times the average of the first and the last", because in an evenly-spaced list the average really is just the midpoint of the two ends. This is an ARITHMETIC series — every term is the last one plus the same step — and here that step is often a fraction, which does not matter: the rule only needs the first term, the last term and how many there are.
Add the first and last term, multiply by the number of terms, halve it, and type the sum.
小提示與常見錯誤
- 求 1 + 2 + ⋯ + n，就用 n 乘以下一個數，再取一半：1 + 2 + ⋯ + 12 就是 12 × 13 = 156，一半是78。
- 常見的錯誤是先去求公差。a₁ = 15、aₙ = 44、n = 6 時公差是5.8，但求和只需算 6 × 59 的一半：177。
- 離開螢幕，找人比一比：一人把 2 + 4 + 6 + ⋯ + 20 逐項相加，另一人算 10 × 22 的一半。兩人都應該得到110。
怎麼玩
在第一級，每個回合都會給出一個待求的和，例如「和: a₁=13, aₙ=37, n=12」，告訴你首項、末項和項數，你就輸入300。另一級像一個小小的等比級數遊戲：「1+2+4+⋯, 7 項, 和=?」要你輸入127。比對手先輸入正確的和，番茄就會出擊，答得越快，這一擊越重。
— 快問快答 —
Series：精簡 FAQ
- 什麼是等比級數？
- 等比級數是把一些項加起來，每一項都是前一項乘以同一個數得到的，這個數叫作公比。在 3 + 6 + 12 + 24 中，公比是2，和是45。首項為 a、公比為 r、共 n 項時，和等於 a(rn − 1)/(r − 1)，所以這裡是 3 × 15/1 = 45。本遊戲的等比級數關卡用的是最簡單的情形：公比為2的 1 + 2 + 4 + ⋯。
- 等差級數的和怎麼求？
- 等差級數的和只需要三個條件：首項、末項和項數。如果不知道末項，就用公差 d（相鄰兩項之間固定的差）來求：aₙ = a₁ + (n − 1)d。例如共10項的 4 + 7 + 10 + ⋯，末項是 4 + 9 × 3 = 31，所以和是 10 × 35 的一半，也就是175。
- eˣ 的級數要怎麼記？
- 把它記成一一配對：x 的每個次方都配著同一個數的階乘當分母。也就是 ex = 1 + x + x2/2! + x3/3! + ⋯，其中 n!（讀作「n 階乘」）等於 1 × 2 × ⋯ × n。所以 x5 那一項的分母是 5! = 120。令 x = 1，各項加起來正好是 e 本身，約為2.72。
- 學生為什麼常把項數數錯？
- 很多學生用首末兩項的差除以公差，卻忘了把第一項算進去。從5到50每次加3，50 − 5 = 45 裡有15個3，所以跳了15次，但一共有16項。想想柵欄的柱子：15個空隙需要16根柱子。所以 5 + 8 + 11 + ⋯ + 50 有16項，和是440，而不是412.5。
- 老師能用這個遊戲開始一堂級數課嗎？免費嗎？
- 老師可以從黑板前的搶答賽開始，而且遊戲完全免費：每一級都在瀏覽器裡開啟，不用註冊，也不用下載。練習等差級數時，在黑板上寫 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯，讓全班依序喊出每個部分和：1、4、9、16、25。學生發現這些都是平方數後，再問前30個奇數的和：900。使用按學生人數計費的學校方案，老師能在儀表板上看到誰的求和越來越熟練。