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一次函數遊戲
在這場一次函數對戰中，兩點之間的斜率一定是 −4 到 4 的整數，而且不會是 0；每組聯立方程式也都是 x + y 和 x − y 的搭配。對手拿到的是同樣的點，誰先讀懂這條直線，誰的鬥士就先出手。
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什麼是一次函數？
一次函數是一種規則：x 每增加 1，y 都會改變相同的量，所以它的圖形是一條直線。它寫成 y = ax + b，其中 a 是斜率，代表直線有多陡，b 是直線和 y 軸交點的 y 坐標（y 截距）。一根長 20 cm、每小時燒掉 2 cm 的蠟燭，剩下的長度就符合 y = 20 − 2x。
例題：x + y = 17，x − y = 9
- 遊戲同時給出 x + y = 17 和 x − y = 9 兩條方程式，只問 x 是多少。
- 把兩式相加，+y 和 −y 剛好消掉，左邊剩下 2x，右邊是 17 + 9 = 26。
- 既然 2x = 26，x 就是 26 的一半，所以 x = 13。
- 用 y = 17 − 13 = 4 驗算：13 − 4 = 9 也成立，所以輸入 13。
一步一步學
Slope is how steep a line is, and it is measured as rise over run: how far the line climbs for every step it takes sideways.
Given two points, subtract the y-values to get the rise and the x-values to get the run, then divide. From (1, 2) to (4, 11): the rise is 11 − 2 = 9, the run is 4 − 1 = 3, so the slope is 3. The line goes up three for every one across.
Order matters only in that you must be consistent — start at the same point for both subtractions, or you will get the sign backwards.
A positive slope climbs to the right and a negative one falls. The number is a rate: on a distance-time graph it is speed, on a cost graph it is price per item.
Find the rise, find the run, divide, and type the slope.
小提示與常見錯誤
- 看 y 前面的正負號。像 +y 和 −y 這樣符號相反時，兩式相加就能消去 y；符號相同時，就用一式減去另一式。
- 常見的錯誤是算到 2x = 30 就停下來，輸入 30。兩式相加得到的是 x 的兩倍，所以回答前要先除以 2：x = 15。
- 在家練習畫直線圖形，可以和孩子一起在方格紙上畫出 y = 2x + 1，x 從 0 取到 3。每個點都比前一個高 2 格，一把直尺就能把它們全部連起來。
怎麼玩
斜率關卡會出現兩個點，例如「(2, 5) → (4, 3), 斜率=?」，這條直線往下走，所以要按負號鍵輸入 −1。第二關變成聯立方程式遊戲：看到 x + y = 22 和 x − y = 8，你只要輸入 x，也就是 15。搶在對手之前答對，蘑菇 就會出擊，答得越快，打得越重。
— 快問快答 —
Linear functions：精簡 FAQ
- 什麼是二元一次聯立方程式？
- 二元一次聯立方程式是一組含有相同未知數、必須同時成立的方程式。只看 x + y = 12，它有無限多組解：5 和 7、9 和 3，還有很多。再加上 x − y = 2，能同時滿足兩式的只有 x = 7、y = 5。在圖形上，這組解就是兩條直線的交點。
- 怎麼用加減消去法解聯立方程式？
- 加減消去法就是先消掉一個未知數，再求另一個。在 3x + 2y = 16 和 x − y = 2 中，y 項還不能直接消掉。把第二式乘以 2，得到 2x − 2y = 4，再把兩式相加：5x = 20，所以 x = 4。把 4 代入 x − y = 2，就得到 y = 2。
- 斜率公式裡哪個差要放分子，怎麼記？
- 拿一條你已經熟悉的直線來驗證公式。直線 y = 2x 通過 (0, 0) 和 (1, 2)，往右每走 1 就上升 2，所以斜率一定是 2。只有 2 除以 1 才會得到 2，1 除以 2 不行，所以 y 的差永遠在分子，x 的差在分母。
- 為什麼孩子覺得負斜率比較不陡？
- 很多學生覺得斜率 −4 比 2 平緩，因為 −4 是比較小的數。但直線有多陡，要看去掉正負號後斜率的大小：斜率 −4 時，往右每走一步下降 4，斜率 2 時只上升 2。比較陡峭程度要看大小，正負號只用來判斷直線是往上還是往下。
- 老師可以在課堂上免費使用這個一次函數對戰嗎？
- 可以：兩個關卡都免費，用學校裝置本來就有的瀏覽器就能執行，不必註冊，也不用下載。在黑板上練習斜率時，畫一個坐標方格，標出 (0, 1)，請學生說出從這一點出發、斜率為 2 的點。像 (2, 5) 或 (−1, −1) 這樣的答案，全都落在同一條直線上。學校方案按學生人數計費，教師儀表板會顯示誰對斜率越來越有把握。