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極限遊戲
在這場極限對戰中，x會趨近1到9之間的某個數，或是趨向無窮大；連0/0陷阱在內，每個答案都是1到55之間的整數。比對手先看出函數往哪裡走，你的鬥士就能搶先出拳。
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什麼是函數的極限？
極限是當x越來越接近某個數時，函數值不斷靠近的那個值。lim x→3讀作「當x趨近於3時」，而且函數在x = 3的地方甚至可以沒有定義。朝一扇門走去，每一步都走完剩下距離的一半：你想離它多近就能多近，那扇門就是你的極限。
例題：求x → 7時(x² − 11x + 28) / (x − 7)的極限
- 先代入7：分子得到49 − 77 + 28 = 0，分母得到7 − 7 = 0，出現0/0這種不定型，還看不出極限是多少。
- 找出相乘為28、相加為11的兩個數，它們是7和4，所以分子可以分解成乘積(x − 7)(x − 4)。
- 把分子和分母共同的因式(x − 7)約掉，只剩下x − 4。
- 再把7代入x − 4，得到3，所以極限是3，你要輸入的答案就是3。
一步一步學
極限問的是當 x 慢慢趨近某個值時，一個函數「朝向哪裡」 — 它瞄準的高度。
當函數表現良好時，你可以直接把值代進去。lim(x→2) of (x2 + 1) = 22 + 1 = 5。代入並求值。
輸入它趨近的值。
小提示與常見錯誤
- 每次都照同一個順序：先代入，得到一個數就結束；得到0/0就因式分解再約分；遇到x → ∞，只比較最高次項。
- 常見的錯誤是把(x2 − 25) / (x − 5)裡的x一個一個劃掉。只有完整的因式才能約分，所以要先把分子寫成(x − 5)(x + 5)。
- 在家裡，用計算機就能看見極限：把x = 3.9、3.99、3.999分別代入(x2 − 16) / (x − 4)，結果7.9、7.99、7.999會一步步逼近8。
怎麼玩
每回合出一道極限題，例如lim x→4 (x2 + 3x + 4)，你在數字鍵盤上輸入它趨近的值：32。後面的關卡還會出現x → 9時(x2 − 81) / (x − 9)這樣的0/0陷阱，以及x → ∞的極限，但答案一律是正整數。搶先答對，洋蔥就會出擊；答得越快，這一擊就越重。
— 快問快答 —
極限：精簡 FAQ
- 極限裡的x → ∞是什麼意思？
- 它表示x不停地變大，超過你說得出的任何一個數。所以∞是一個方向，而不是可以代入的值。極限問的是函數在這條路上越來越接近哪個值。x越來越大時，1/x越來越接近0。相反地，12x除以4x對任何不為0的x都等於3，所以它在無窮遠處的極限也是3。
- 有立方差的極限怎麼算？
- 用公式a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2)分解分子。以x → 4時的(x3 − 64) / (x − 4)為例，分子是(x − 4)(x2 + 4x + 16)。約掉(x − 4)再代入：16 + 16 + 16 = 48。這種形式還有個快速驗算法：x趨近的那個數的平方乘以3，也就是3 × 42 = 48。
- 學生通常幾歲學極限？
- 在許多學校體系中，學生大約在16到18歲、中學的最後階段學極限，上大學後的第一門微積分課還會再遇到。課堂的順序常常和這裡的關卡一樣：先代入，再處理0/0型，最後是無窮遠處的極限。這裡的三個關卡是為17到18歲的學生設計的。
- 為什麼約分之後極限還是算錯？
- 通常約分本身沒錯，而是漏了最後一步：剩下的式子還要在那一點求值。以x → 9時的(x2 − 13x + 36) / (x − 9)為例，分子是(x − 9)(x − 4)。約分後剩下x − 4，所以極限是9 − 4 = 5。把括號裡剩下的4當成答案輸入，是最典型的錯誤。
- 這個極限對戰免費嗎？課堂上怎麼用？
- 免費：三個關卡全班都能免費玩，在任何瀏覽器分頁裡打開就行，不用註冊帳號，也不用安裝。做極限練習時，可以在黑板上寫出(x2 − 9) / (x − 3)、(x3 − 27) / (x − 3)和(x2 − 5x + 6) / (x − 3)。三題在x = 3時都是0/0，但做了因式分解的小組會求出極限6、27和1。使用依學生人數計費的學校方案，老師可以在儀表板上看到誰求極限越來越快。