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導數遊戲
這款導數對戰遊戲從 x = 2 處的冪函數微分，一路打到偏導數，每個答案都是 2 到 200 之間的整數，從不需要寫算式。微分得比對手快，你的鬥士就能在對方還在把指數往前移時搶先出手。
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什麼是導數？
導數表示函數在某一點變化得有多快，在圖形上就是曲線在那一點的斜率。它寫成 f′(x) 或 d/dx。想想汽車的速度表：車子往前開時，走過的距離不斷增加，而指針顯示的正是這一刻距離增加得有多快。
例題：5x³ 在 x = 2 的導數
- 把指數 3 移到前面，再乘以 5，得到 15。
- 接著把指數減 1，從 3 變成 2，所以導函數是 15x2。
- 最後代入 x = 2：22 等於 4，15 × 4 = 60，所以輸入 60。
一步一步學
導數測量某樣東西變化得多快 — 曲線在某一點的陡峭程度。
冪法則：axn 的 d/dx 是 (a·n)·xn−1 — 乘以指數，再把指數減一。所以 3x2 的 d/dx 是 6x；在 x = 2 時是 12。
套用規則，代入那個點，輸入斜率。
小提示與常見錯誤
- 用冪函數的微分公式時，指數一定剛好減 1：x4 變成含 x3 的項，x2 變成含 x 的項，單獨的 x 則變成一個普通的數。
- 常見的錯誤是太早代入。先把 x = 2 代進 4x3，會得到常數 32，而常數的導數是 0。記得先微分，再代入。
- 和孩子或學生一起在紙上畫出 y = x2，在 x = 1、2、3 處把尺貼著曲線放。尺一次比一次陡，剛好對應斜率 2、4、6。
怎麼玩
典型的一回合會出現「d/dx [4x3] 在 x=2 處」這樣的題目，你要輸入該點的導數值 48。到了連鎖律和乘積律的關卡，只要輸入最前面的係數：(3x + 1)5 的導數是 15(3x + 1)4，所以答 15。搶在對手之前答對，青花菜 就會出擊，花的時間越短，攻擊越重。
— 快問快答 —
導數：精簡 FAQ
- d/dx 是什麼意思？
- d/dx 的意思是「對 x 微分」，也就是要找出後面的式子隨著 x 變化而變化得有多快。所以 d/dx [x3] = 3x2，讀作「x 的三次方微分後是 3x2」。d 代表一個極小的差，因此 d/dx 看起來就像斜率：高度的變化除以 x 的變化。
- 多項式要怎麼微分？
- 多項式要逐項微分，每一項都套用冪函數的微分公式。以 3x2 + 4x + 6 為例，3x2 變成 6x，4x 變成 4，常數 6 則消失，因為常數永遠不會變。所以導函數是 6x + 4，在 x = 2 的值是 6 × 2 + 4 = 16。
- 乘積律要怎麼記？
- 可以把乘積律記成「輪流微分」：第二個因式等著時先微分第一個，再讓第一個等著、微分第二個，最後把兩個結果相加。寫成式子就是 (fg)′ = f′g + fg′。用 x2 · x3 驗證看看：得到 2x · x3 + x2 · 3x2 = 5x4，和直接微分 x5 的結果完全相同。
- 連鎖律為什麼老是算錯？
- 連鎖律的錯誤，大多是因為忘了括號裡面的部分。以 (2x + 7)5 為例，把 5 移下來得到 5(2x + 7)4，但裡面的 2x + 7 也會隨 x 變化，變化率是 2。再乘上這個 2，導數才是 10(2x + 7)4。漏乘內層函數的導數，是最典型的失誤。
- 這款導數對戰遊戲免費嗎？可以在數學課上用嗎？
- 完全免費：六個關卡都能在學校任何筆電或平板的瀏覽器裡執行，不必註冊帳號，也不用下載。作為微分練習的開場，可以在黑板上畫出 y = x2，請各小組算出 x = 3 到 x = 4 之間的斜率，再縮到 3.5，再縮到 3.1。答案依序是 7、6.5、6.1，越來越接近 x = 3 處的導數 6。學校方案按學生人數收費，老師能在儀表板上追蹤每位學生的進步。