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積分計算遊戲
在這場積分對戰中，每塊面積都從x = 0開始，到2或3結束；代換積分關卡只問分母。對手積的是同一條曲線，你每省下一步，你的鬥士就能搶先出拳。
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什麼是積分？
積分就是把一個不斷變化的量累加起來。當曲線位於x軸上方時，定積分給出曲線下方、介於兩個x值之間的面積，這兩個值稱為積分的下限和上限。想像一輛車在旅途中的速率圖形：圖形下方的面積，就是這輛車行駛的距離。
例題：∫(0→2) (3x² + 8x + 5) dx
- 逐項積分：3x2變成x3，8x變成4x2，單獨的常數5變成5x。
- 把上限x = 2代入x3 + 4x2 + 5x，得到8 + 16 + 10 = 34。
- 在下限x = 0處每一項都是0，不必減去任何數，所以輸入34。
一步一步學
積分是微分的逆向 — 它把微小的切片加起來，求出曲線下方的「面積」。
冪法則翻轉過來：∫axn dx = a·xn+1/(n+1) — 把指數加一，再除以新的指數。以 ∫2x dx 從 0 到 3 為例：那是 x2 在 3 處求值 → 9。
積分，在上限求值（這裡下限是 0），輸入面積。
小提示與常見錯誤
- 把符號當成一句話來讀：∫是拉丁文summa（和）的首字母S拉長而成，dx是極窄的寬度。所以∫ 6x2 dx表示把高為6x2的細條全部加起來。
- 常見錯誤是乘以新的指數，而不是除以它。6x2的積分是2x3，不是18x3；把答案微分一下，應該回到6x2。
- 在方格紙上畫出直線y = x，從0畫到6，再數一數下面的方格。三角形正好佔18格，和x2/2在6處的值一樣。
怎麼玩
前兩個關卡的每個回合都會出一道求面積的題，例如∫(0→3) 8x3 dx，你在數字鍵盤上輸入它等於的整數：162。代換積分關卡會出∫(2x+5)3 dx，只要你答出結果的分母：8。搶在對手之前答對，紅蘿蔔就會出擊；答對得越早，這一擊就越重。
— 快問快答 —
積分：精簡 FAQ
- 積分裡的dx是什麼意思？
- 在積分裡，dx說明你沿著哪個變數累加，同時代表x方向上一段極小的寬度。所以∫ 6x2 dx可以讀成許多細條之和，每條高6x2、寬dx。把細條切得越來越窄，它們的總和就成了精確的面積。沒有dx，積分就說不清該沿哪個方向切分。
- 定積分怎麼計算？
- 定積分分三步計算。先找一個反導函數，也就是微分後正好得到積分號裡那個函數的函數。再代入上限，減去它在下限處的值。例如2x從1積到3，反導函數是x2，所以9 − 1 = 8。在這個遊戲裡下限總是0，而這些反導函數在0處的值都是0。
- 積分的冪函數公式怎麼記？
- 想想襪子和鞋子：穿的時候先穿襪子，脫的時候卻先脫鞋子。微分是先乘以指數，再把指數減1，所以積分要按相反的順序把這些步驟還原：指數先加1，然後除以加1後的指數。於是12x3變成3x4，而3x4微分後又回到12x3。
- 代換積分最常見的錯誤是什麼？
- 最常見的錯誤是忘了括號裡x前面的係數。在∫(3x + 2)4 dx裡，把指數加1得到(3x + 2)5除以5，但括號裡的量增加的速度是x的3倍，所以還要再除以3。分母是3 × 5 = 15，而不是5。把(3x + 2)5 / 15微分，正好回到(3x + 2)4。
- 在課堂上用這個積分對戰遊戲要花錢嗎？
- 不用花錢：從單項式到代換積分，三個關卡都能在學校筆電或平板的瀏覽器分頁裡打開，學生也不用註冊帳號。想在黑板上做積分練習，可以讓各小組找出從0到2的面積正好是8的函數。常數4、直線4x和曲線3x2都符合，三者形狀卻完全不同。使用依學生人數計費的學校方案，老師可以在儀表板上看到誰的積分越算越好。