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排列組合遊戲
在這場排列組合對決裡，可以挑的東西最多只有 8 個，答案卻從 4 一路升到 1680，也就是奧林匹亞等級中 ₈P₄ 的值。比對手先數清每種情況，每個正確答案都會變成你的鬥士的一記重拳。
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什麼是排列與組合？
排列與組合是兩種不必一一列出、就能算出選法有幾種的方法。組合是不管順序的一組：蘋果和梨，跟梨和蘋果是同一對。排列是有順序的一排：先吃蘋果再吃梨，和先吃梨再吃蘋果，算是兩種不同的情況。
例題：從 6 個裡選 2 個，有幾種選法？
- ₆C₂ 問的是：不管順序時，從 6 樣東西裡選出 2 樣，一共有幾種不同的組。
- 先依順序挑：第一樣有 6 種選法，第二樣有 5 種，所以 6 × 5 = 30 種有順序的挑法。
- 每一組都以「A 再 B」和「B 再 A」被算了兩次，所以取 30 的一半，輸入 15。
一步一步學
nCk 計算當順序無所謂時，從 n 個當中「選」k 個有幾種方式 — 就像選一支隊伍，誰先被點名沒有差別。
5C2（「從 5 個選 2 個」）= 10。公式是 n! ÷ (k! × (n−k)!)，但想法很單純：你能組出幾種不同的群組？
輸入可能的群組數。
小提示與常見錯誤
- ₆P₃ 裡的小 3 告訴你要從 6 開始往下乘幾個數：6 × 5 × 4 = 120。乘到這裡就停，別一路乘到 1。
- 常見的錯誤是在組合裡把兩種順序都算進去。做 ₄C₂ 時把 AB 和 BA 分開寫會得到 12；刪掉重複的，只剩 6 組。
- 家庭聚餐時，問問看如果每個人都跟其他人握一次手，總共要握幾次。七個人是 21 次，剛好是 ₇C₂，每多一位客人，次數又會變多。
怎麼玩
每回合會出現 ₇C₃ 或 ₄P₂ 這樣的符號：左邊的小數字代表總共有幾樣，右邊的小數字代表要選幾樣。在鍵盤上輸入結果，但先看清楚字母，因為奧林匹亞等級會把 C 和 P 混在一起。只有第一個正確答案會命中，答得越早，青花菜 打得越重。
— 快問快答 —
排列組合：精簡 FAQ
- 排列和組合有什麼不同？
- 差別在於：把選出的兩樣東西對調，會不會變成新的結果。排列會，就像門鎖密碼，1-2-3 和 3-2-1 是兩組不同的密碼。組合不會，就像手上的一副撲克牌。從 4 個字母裡選，₄P₃ = 24，但 ₄C₃ = 4，因為每組 3 個字母都能排出 6 種順序。
- 不用計算機要怎麼算組合數？
- 先數出有順序的挑法，再除以每一組的排法數。算 ₇C₃ 時，依順序挑 3 個共有 7 × 6 × 5 = 210 種。每組 3 個可以排成 3 × 2 × 1 = 6 種順序，所以 ₇C₃ = 210 ÷ 6 = 35。先約分更快：上面的 6 和下面的 6 約掉，剩下 7 × 5 = 35。
- 有沒有快速求組合數的訣竅？
- 有，巴斯卡三角形裡藏著所有的組合數。最上面寫 1，下面每個新數都等於它上方兩個數的和。把最上面一列算作第 0 列，第 6 列是 1、6、15、20、15、6、1，所以 ₆C₃ = 20。每一列左右對稱，因此 ₆C₄ = ₆C₂ = 15：挑出要留下的 4 個，就等於挑出要拿掉的 2 個。
- 為什麼學生常把排列和組合搞混？
- 因為兩種問題的說法常常很像，題目也不一定會直接說明順序重不重要。用一個小例子就能分清楚。從 A、B、C 裡選兩個，組合有 AB、AC、BC，所以 ₃C₂ = 3。有順序的話，還要加上 BA、CA、CB，所以 ₃P₂ = 6。把兩份清單並排來看，差別就記住了。
- 有沒有免費把排列組合帶進課堂的方法？
- 有：三個關卡，包括奧林匹亞等級的混合關，都能在任何瀏覽器免費開啟，學生不必註冊帳號，也不用安裝。在黑板上練習計數時，請 5 位同學上台，問他們能組成幾個 3 人委員會。接著問他們安排主席、秘書和財務有幾種方法。答案 10 和 60 顯示每個委員會都有 6 種排法。學校方案依學生人數計費，老師可以在儀表板上看到誰在進步。