数学练习 · 焕然一新
向量游戏
这款向量数学游戏里，箭头以 ⟨24, 7⟩ 这样的数对出现，或者用长度和角度给出，每个答案都是 −24 到 162 之间的整数。对手还在平方、相加时你先答对，你的斗士就出手了。
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什么是向量？
向量是既有大小又有方向的量，用箭头来表示。时速 20 km 的风，在你说出它往北吹之前，只是一个速率；说出方向，它就成了向量。两个箭头只要长度相等、方向相同，不管从哪里出发，都是同一个向量。
例题：⟨24, 7⟩ 的模
- ⟨24, 7⟩ 两边的竖线表示求它的模，也就是长度：箭头向右走 24，向上走 7。
- 把每个分量自己乘自己：24 × 24 = 576，7 × 7 = 49。
- 把两个平方相加得 625，再找哪个数自己乘自己等于 625：是 25。
- 箭头长 25，只比横向的 24 多一点，所以输入 25。
一步一步学
一个向量 ⟨x, y⟩ 是一个箭头：横着走 x 步，往上走 y 步。它的模长就是这个箭头有多长，从起点到箭尖笔直地量。
因为横向的一步和纵向的一步成直角，箭头就是一个直角三角形的斜边——所以它的长度是 √(x2 + y2)，也就是勾股定理。对于 ⟨3, 4⟩：√(9 + 16) = √25 = 5。（这些题专门挑得让长度总是整数。）
把每一部分平方，相加，取平方根，输入长度。
小贴士和常见错误
- 想象 θ = 0°：箭头平躺在 x 轴上，所以 x 就是整个长度 r。因为 cos 0° = 1，x 跟 cos 配对，y 跟 sin 配对。
- 常见错误是把两个分量直接相加：⟨12, 9⟩ 的长度不是 21，因为直的箭头会斜着抄近路。正确做法是 144 + 81 = 225，√225 = 15。
- 在地板上练习向量加法：走 6 块地砖，转一个直角，再走 8 块，就是 ⟨6, 0⟩ + ⟨0, 8⟩ = ⟨6, 8⟩。拉一根绳子回到起点，正好 10 块地砖长。
怎么玩
向量会以三种样子出现：|⟨21, 20⟩| 求长度，答 29；r=10, θ=120°, x=? 要用减号键答 −5；⟨7, 2⟩ · ⟨3, 9⟩ 求数量积，答 39。每个答案都是整数，比对手先在键盘上输入，辣椒 就会出击，答得越快打得越重。
— 快问快答 —
向量：精简 FAQ
- 两个向量的数量积表示什么？
- 数量积用一个数说明两个向量的方向有多一致：它等于两个向量的模相乘，再乘以它们夹角的余弦。夹角小于 90° 时为正，成直角时为 0，大于 90° 时为负。⟨2, 6⟩ 和 ⟨3, −1⟩ 的数量积是 2 × 3 + 6 × (−1) = 0，所以它们互相垂直。游戏里每个分量都在 1 到 9 之间，所以数量积总是正数。
- 极坐标怎么化成直角坐标？
- 要得到直角坐标，用长度 r 乘 cos θ 得到 x，乘 sin θ 得到 y。极坐标用距离和角度确定一个点，直角坐标则用横向和纵向的移动。r = 12、θ = 30° 时，y = 12 × sin 30° = 12 × ½ = 6。游戏只用偶数的 r，以及正弦或余弦为 0、½ 或 1 的角，有时带负号，所以结果总是整数。
- 有没有快速求向量模的窍门？
- 最快的窍门是认出向量背后的勾股数：三个整数，前两个的平方和等于第三个的平方。游戏里的向量全部来自五组勾股数，比如 5、12、13 和 8、15、17，或者它们的倍数。所以 ⟨16, 12⟩ 是 ⟨4, 3⟩ 的 4 倍，它的模就是 4 × 5 = 20。
- 为什么我算出的 x 分量是负数？
- 只要角度超过 90°，负的 x 就是正确答案，因为这时箭头指向起点的左边。由于 cos 120° = −½，r = 8、θ = 120° 时 x = 8 × (−½) = −4；到了 180°，x 就是整个长度再加上负号。用减号键输入即可。这里的 y 永远不会是负数，因为没有超过 180° 的角。
- 这款向量数学游戏免费吗？课堂上怎么用？
- 免费，三个向量关卡在任何浏览器里都能玩，不用注册，也不用安装。上课热身时，可以问全班：分量都是整数、长度正好是 13 的箭头一共有几个？学生两人一组寻找，比如 ⟨5, 12⟩ 和 ⟨−13, 0⟩，直到找齐 12 个；从同一点画出来，它们的箭头尖正好落在一个圆上。学校方案按学生计价，教师可以在仪表盘上看到谁在进步。