什么是等比级数？

等比级数是把一些项加起来，每一项都是前一项乘以同一个数得到的，这个数叫作公比。在 3 + 6 + 12 + 24 中，公比是2，和是45。首项为 a、公比为 r、共 n 项时，和等于 a(rⁿ − 1)/(r − 1)，所以这里是 3 × 15/1 = 45。本游戏的等比级数关卡用的是最简单的情形：公比为2的 1 + 2 + 4 + ⋯。

等差数列的和怎么求？

等差数列的和只需要三个条件：首项、末项和项数。如果不知道末项，就用公差 d（相邻两项之间固定的差）来求：aₙ = a₁ + (n − 1)d。比如共10项的 4 + 7 + 10 + ⋯，末项是 4 + 9 × 3 = 31，所以和是 10 × 35 的一半，即175。

eˣ 的级数怎么记？

把它记成一一配对：x 的每个幂都配着同一个数的阶乘做分母。也就是 eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ⋯，其中 n!（读作“n 的阶乘”）等于 1 × 2 × ⋯ × n。所以 x⁵ 那一项的分母是 5! = 120。令 x = 1，各项加起来正好是 e 本身，约等于2.72。

学生为什么总把项数数错？

很多学生用首末两项的差除以公差，却忘了把第一项算进去。从5到50每次加3，50 − 5 = 45 里有15个3，所以跳了15次，但一共有16项。想想栅栏的柱子：15个空隙需要16根柱子。所以 5 + 8 + 11 + ⋯ + 50 有16项，和是440，而不是412.5。

老师能用这个游戏开始一节级数课吗？免费吗？

老师可以从黑板前的抢答赛开始，而且游戏完全免费：每一级都在浏览器里打开，不用注册，也不用下载。练习等差数列求和时，在黑板上写 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯，让全班依次喊出每个部分和：1、4、9、16、25。学生发现这些都是平方数后，再问前30个奇数的和：900。使用按学生人数计费的学校方案，老师能在仪表盘上看到谁的求和越来越熟练。

数学练习 · 焕然一新

数列求和游戏

这场数列求和挑战要你一次加完多达40项的等差数列，最高一级则是e^x的级数，其中x⁷要除以5040。一项一项地加实在太慢：谁先算出正确的和，谁的斗士就先出手。

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数学中的级数是什么？

级数就是一个数列的和：把一列按顺序排好的数（每个数叫作项）全部加起来，得到一个总数。数列 3, 5, 7, 9 有四项，而级数 3 + 5 + 7 + 9 是一个数：24。级数可长可短，甚至可以无穷无尽；很多时候，用公式就能直接求出总和，不必逐项相加。

Series的所有关卡

例题：1 + 2 + 4 + ⋯ 共5项

每一项都是前一项的2倍，所以这5项是1、2、4、8和16。
逐个相加：1 + 2 = 3，再算 3 + 4 = 7、7 + 8 = 15、15 + 16 = 31。
用这个规律的捷径检验：2⁵ = 32，和比它少1，就是31。
和是31，所以在键盘上输入31。

一步一步学

A series is what you get when you add a sequence up. Adding evenly-spaced numbers one at a time is slow, and there is a much better way.

The story goes that a schoolboy named Gauss was told to add 1 to 100 and answered almost at once. He had noticed that the numbers pair up from the outside in: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101. Fifty pairs, each worth 101, giving 5050.

The general rule is the same idea: S = n × (a₁ + aₙ) ÷ 2. Read it as "how many terms, times the average of the first and the last", because in an evenly-spaced list the average really is just the midpoint of the two ends. This is an ARITHMETIC series — every term is the last one plus the same step — and here that step is often a fraction, which does not matter: the rule only needs the first term, the last term and how many there are.

Add the first and last term, multiply by the number of terms, halve it, and type the sum.

小贴士和常见错误

求 1 + 2 + ⋯ + n，就用 n 乘下一个数，再取一半：1 + 2 + ⋯ + 12 就是 12 × 13 = 156，一半是78。
常见错误是先去求公差。a₁ = 15、aₙ = 44、n = 6 时公差是5.8，可求和只需算 6 × 59 的一半：177。
离开屏幕，找人比一比：一人把 2 + 4 + 6 + ⋯ + 20 逐项相加，另一人算 10 × 22 的一半。两人都应得到110。

怎么玩

在第一级，每个回合都会给出一个待求的和，比如“和: a₁=13, aₙ=37, n=12”，告诉你首项、末项和项数，你就输入300。另一级像一个小小的等比级数游戏：“1+2+4+⋯, 7 项, 和=?”要你输入127。比对手先输入正确的和，番茄就会出击，答得越快，这一击越重。

— 快问快答 —

Series：精简 FAQ

什么是等比级数？: 等比级数是把一些项加起来，每一项都是前一项乘以同一个数得到的，这个数叫作公比。在 3 + 6 + 12 + 24 中，公比是2，和是45。首项为 a、公比为 r、共 n 项时，和等于 a(rⁿ − 1)/(r − 1)，所以这里是 3 × 15/1 = 45。本游戏的等比级数关卡用的是最简单的情形：公比为2的 1 + 2 + 4 + ⋯。
等差数列的和怎么求？: 等差数列的和只需要三个条件：首项、末项和项数。如果不知道末项，就用公差 d（相邻两项之间固定的差）来求：aₙ = a₁ + (n − 1)d。比如共10项的 4 + 7 + 10 + ⋯，末项是 4 + 9 × 3 = 31，所以和是 10 × 35 的一半，即175。
eˣ 的级数怎么记？: 把它记成一一配对：x 的每个幂都配着同一个数的阶乘做分母。也就是 e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ⋯，其中 n!（读作“n 的阶乘”）等于 1 × 2 × ⋯ × n。所以 x⁵ 那一项的分母是 5! = 120。令 x = 1，各项加起来正好是 e 本身，约等于2.72。
学生为什么总把项数数错？: 很多学生用首末两项的差除以公差，却忘了把第一项算进去。从5到50每次加3，50 − 5 = 45 里有15个3，所以跳了15次，但一共有16项。想想栅栏的柱子：15个空隙需要16根柱子。所以 5 + 8 + 11 + ⋯ + 50 有16项，和是440，而不是412.5。
老师能用这个游戏开始一节级数课吗？免费吗？: 老师可以从黑板前的抢答赛开始，而且游戏完全免费：每一级都在浏览器里打开，不用注册，也不用下载。练习等差数列求和时，在黑板上写 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯，让全班依次喊出每个部分和：1、4、9、16、25。学生发现这些都是平方数后，再问前30个奇数的和：900。使用按学生人数计费的学校方案，老师能在仪表盘上看到谁的求和越来越熟练。

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