什么是二元一次方程组？

二元一次方程组是含有相同未知数、必须同时成立的一组方程。单看 x + y = 12，它有无数组解：5 和 7、9 和 3，还有很多。再加上 x − y = 2，能同时满足两个方程的只有 x = 7、y = 5。在图像上，这组解就是两条直线的交点。

怎样用加减消元法解方程组？

加减消元法就是先消去一个未知数，再求另一个。在 3x + 2y = 16 和 x − y = 2 中，y 项还不能直接抵消。把第二个方程乘以 2，得到 2x − 2y = 4，再把两个方程相加：5x = 20，所以 x = 4。把 4 代入 x − y = 2，得到 y = 2。

斜率公式里哪个差放在分子上，怎么记？

用一条你已经熟悉的直线来检验公式。直线 y = 2x 经过 (0, 0) 和 (1, 2)，向右每走 1 就上升 2，所以斜率一定是 2。只有 2 除以 1 才得 2，1 除以 2 不行，所以 y 的差总在分子上，x 的差在分母上。

为什么孩子觉得负斜率没那么陡？

很多学生觉得斜率 −4 比 2 更平缓，因为 −4 是更小的数。但直线有多陡，取决于去掉符号后斜率的大小：斜率为 −4 时，向右每走一步下降 4，斜率为 2 时只上升 2。比较陡峭程度要看大小，符号只用来判断直线是上升还是下降。

老师能在课堂上免费使用这个一次函数对战吗？

可以：两个关卡都免费，在学校设备自带的浏览器里就能运行，不用注册，也不用下载。在黑板上练习斜率时，画一个方格坐标网，标出 (0, 1)，让学生说出从这个点出发斜率为 2 的点。像 (2, 5) 或 (−1, −1) 这样的答案，都落在同一条直线上。学校方案按学生人数计费，教师面板会显示谁对斜率越来越有把握。

数学练习 · 焕然一新

一次函数游戏

在这场一次函数对战中，两点之间的斜率总是 −4 到 4 之间的整数，从不为 0，而每个方程组都把 x + y 和 x − y 配成一对。对手拿到的是同样的点，谁先看懂这条直线，谁的斗士就先出手。

4–99+ 岁皆宜 · 无需下载 · 浏览器即玩 · 23 种语言

选择你的等级 ▸

什么是一次函数？

一次函数是这样一种规则：x 每增加 1，y 总是变化同样的量，所以它的图像是一条直线。它写成 y = kx + b，其中 k 是斜率，表示直线有多陡，b 是直线与 y 轴交点的纵坐标（截距）。一支长 20 cm、每小时烧掉 2 cm 的蜡烛，剩下的长度就符合 y = 20 − 2x。

Linear functions的所有关卡

例题：x + y = 17，x − y = 9

游戏同时给出 x + y = 17 和 x − y = 9 两个方程，只问 x 是多少。
把两个方程相加，+y 和 −y 正好抵消，左边剩下 2x，右边是 17 + 9 = 26。
既然 2x = 26，x 就是 26 的一半，所以 x = 13。
用 y = 17 − 13 = 4 检验：13 − 4 = 9 也成立，所以输入 13。

一步一步学

Slope is how steep a line is, and it is measured as rise over run: how far the line climbs for every step it takes sideways.

Given two points, subtract the y-values to get the rise and the x-values to get the run, then divide. From (1, 2) to (4, 11): the rise is 11 − 2 = 9, the run is 4 − 1 = 3, so the slope is 3. The line goes up three for every one across.

Order matters only in that you must be consistent — start at the same point for both subtractions, or you will get the sign backwards.

A positive slope climbs to the right and a negative one falls. The number is a rate: on a distance-time graph it is speed, on a cost graph it is price per item.

Find the rise, find the run, divide, and type the slope.

小贴士和常见错误

看 y 前面的符号。像 +y 和 −y 这样符号相反时，把两个方程相加就能消去 y；符号相同时，用一个方程减去另一个。
常见错误是算到 2x = 30 就停下，输入 30。两个方程相加得到的是 x 的两倍，所以回答前要先除以 2：x = 15。
在家练习画直线图像，可以和孩子一起在方格纸上画出 y = 2x + 1，x 从 0 取到 3。每个点都比前一个高 2 格，用一把直尺就能连成一条线。

怎么玩

斜率关卡会显示两个点，比如“(2, 5) → (4, 3), 斜率=?”，这条直线往下走，所以要按负号键输入 −1。第二关变成方程组游戏：给出 x + y = 22 和 x − y = 8，你只输入 x，也就是 15。抢在对手前面答对，蘑菇就会出击，答得越快，打得越重。

— 快问快答 —

Linear functions：精简 FAQ

什么是二元一次方程组？: 二元一次方程组是含有相同未知数、必须同时成立的一组方程。单看 x + y = 12，它有无数组解：5 和 7、9 和 3，还有很多。再加上 x − y = 2，能同时满足两个方程的只有 x = 7、y = 5。在图像上，这组解就是两条直线的交点。
怎样用加减消元法解方程组？: 加减消元法就是先消去一个未知数，再求另一个。在 3x + 2y = 16 和 x − y = 2 中，y 项还不能直接抵消。把第二个方程乘以 2，得到 2x − 2y = 4，再把两个方程相加：5x = 20，所以 x = 4。把 4 代入 x − y = 2，得到 y = 2。
斜率公式里哪个差放在分子上，怎么记？: 用一条你已经熟悉的直线来检验公式。直线 y = 2x 经过 (0, 0) 和 (1, 2)，向右每走 1 就上升 2，所以斜率一定是 2。只有 2 除以 1 才得 2，1 除以 2 不行，所以 y 的差总在分子上，x 的差在分母上。
为什么孩子觉得负斜率没那么陡？: 很多学生觉得斜率 −4 比 2 更平缓，因为 −4 是更小的数。但直线有多陡，取决于去掉符号后斜率的大小：斜率为 −4 时，向右每走一步下降 4，斜率为 2 时只上升 2。比较陡峭程度要看大小，符号只用来判断直线是上升还是下降。
老师能在课堂上免费使用这个一次函数对战吗？: 可以：两个关卡都免费，在学校设备自带的浏览器里就能运行，不用注册，也不用下载。在黑板上练习斜率时，画一个方格坐标网，标出 (0, 1)，让学生说出从这个点出发斜率为 2 的点。像 (2, 5) 或 (−1, −1) 这样的答案，都落在同一条直线上。学校方案按学生人数计费，教师面板会显示谁对斜率越来越有把握。

更多数学待你征服

准备好开战了吗？

免费畅玩 ▸