数学练习 · 焕然一新
对数游戏
这款对数对战游戏用2、3、5和10作底数，真数最大到100000，还有一关要把两个对数相加，比如log₂ 7 + log₂ 6 = log₂ 42。你和对手解同一道题，谁先答对，谁的斗士就先出手。
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什么是对数？
对数回答的是：底数的几次方等于某个数。因为102 = 100，所以以10为底、100的对数是2，写作log₁₀ 100 = 2；底数就是“log”右下角那个小小的数。把一张纸对折4次，会叠出16层，所以log₂ 16 = 4。
例题：log₂ 32等于多少？
- 右下角的小2是底数，所以问题是：要把几个2相乘，才能得到32？
- 把32一次次地除以2，直到得到1：16、8、4、2、1。
- 一共除了五次，所以32是五个2相乘的积，也就是25。
- 因此log₂ 32 = 5，你要输入的答案是5。
一步一步学
对数问的是乘方的反过来：“我需要多少次方？”
log₂(8) 在问“2 的几次方等于 8？”因为 2 × 2 × 2 = 8，所以是 3——即 log₂(8) = 3。而 log₁₀(1000) = 3，因为 103 = 1000（数一数零就行）。
找出能构成这个数的那个乘方，输入那个指数。
小贴士和常见错误
- 对数和乘方用的是同样三个数：log₃ 81 = 4，34 = 81。底数还是底数，对数的结果就变成指数。
- 常见错误是用真数除以底数：log₅ 25不等于5。应该数一数几个5相乘得25：5 × 5，所以答案是2。
- 离开屏幕也能练对数：说出一个数，比如243，让孩子找出它的底数和对数：243 = 35，所以log₃ 243 = 5。然后互换角色。
怎么玩
大多数回合只出一个对数，比如log₂ 64或log₅ 125，你在数字键盘上输入它的指数：6或3。到了积的法则那一关，屏幕上换成log₂7 + log₂6 = log₂?，你要输入两数的积42。抢在对手之前答对，胡萝卜就会出击；你犹豫得越少，这一击就越疼。
— 快问快答 —
对数：精简 FAQ
- 计算器上的log是什么意思？
- 计算器上的log键算的是以10为底的对数，也就是常用对数，课本里常写成lg，所以log 10000得4。ln键是自然对数，底数是e，一个约等于2.72的特殊数。遇到其他底数，就把两个对数相除：log₂ 128等于log 128除以log 2，结果是7。
- 不用计算器怎么算对数？
- 先把对数变回乘方，再从底数开始把数搭起来。算log₅ 625时，一直乘5直到得到它：5、25、125、625。一共用了四个5，所以log₅ 625 = 4。如果这个数不是某个整数次方，就找夹住它的两个乘方：50在32和64之间，所以log₂ 50在5和6之间。
- 对数一般几岁学？
- 在很多学校体系里，学生大约在15到17岁学对数，那时乘方已经很熟悉了。这里的关卡面向15岁的学生，既有log₃ 27这样的单个对数，也有两个对数相加的法则。把26 = 64这类乘方记得很熟，在这里找每个对数都会更快。
- 为什么log a + log b不等于log (a + b)？
- 每个对数都是一个指数，而指数相加对应的是乘方相乘，绝不是相加：23 × 22 = 25。所以log₂ 3 + log₂ 4 = log₂ 12，是积的对数，而不是log₂ 7。加号连接的是两个对数，而不是里面的两个数，很多学生正是在这一步看错。
- 全班能在这里免费练对数吗？
- 能，而且完全免费：三个关卡都能在学校笔记本电脑或平板的任意浏览器里运行，学生不用注册账号，也不用安装。在黑板上写下log₂ 4 + log₂ 8。一半同学分别算出两个对数再相加，2 + 3 = 5；另一半同学计算4 × 8，得出log₂ 32 = 5。两边答案相同，正好展示积的法则。使用学校方案，按学生人数计费，老师可以在看板上查看每个学生的进步。