数学练习 · 焕然一新
行列式游戏
在这场2×2行列式对决里，每个矩阵都由1到9中的四个数字组成，结果却可能落在−80到80之间的任何位置。比对手更快地算完两条对角线，你的斗士就把ad − bc变成一记重拳。
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什么是行列式？
行列式是由方阵算出的一个数，方阵就是行数和列数相等的数表。它写作det A或|A|。对2×2矩阵来说，行列式表示面积被放大了多少倍：行列式为6时，每个图形都变成原来的六倍大；为负时，图形还会像照镜子一样翻转；为0时，图形被压得完全扁平。
例题：求[ 3 5 ; 8 1 ]的行列式
- 这个矩阵第一行是3和5，第二行是8和1。
- 先算主对角线3 × 1 = 3，再算另一条对角线5 × 8 = 40。
- 用第一个积减去第二个积：3 − 40 = −37。
- 行列式是−37，所以输入时要带上负号。
一步一步学
一个 2×2 矩阵是由四个数排成两行的小方阵：上面是 a b，下面是 c d。它的行列式是一个用来衡量这个方阵的单一数值，求它有一个简洁的交叉模式。
把主对角线相乘（左上 × 右下 = a × d），再减去另一条对角线（右上 × 左下 = b × c）。对于 [ 2 3 ; 1 4 ]：就是 (2 × 4) − (3 × 1) = 8 − 3 = 5。答案可能是负数——没关系，用 − 键。
把两条对角线交叉相乘，相减，输入行列式。
小贴士和常见错误
- 把主对角线想象成从左上往右下的一段下坡。先算下坡的积，再算上坡的积，这样得到的总是ad − bc。
- 常见错误是沿着行相乘，而不是沿着对角线。对[ 2 7 ; 1 5 ]，按行算得14 − 5 = 9，按对角线才得10 − 7 = 3。
- 把四张数字卡片摆成2×2，比比谁先算出行列式。然后交换两行，结果的大小不变，符号却反过来。
怎么玩
每回合出现一个由1到9组成的2×2矩阵，比如det [ 8 9 ; 8 1 ]，你在键盘上连同负号输入它的行列式−64。第二关换成一行乘一列：[2 4] · [2; 6]的答案是28。对手看到的是同一道题；抢先答对，豌豆荚就出击，答得越快，打得越重。
— 快问快答 —
行列式：精简 FAQ
- 行列式等于0是什么意思？
- 行列式等于0，说明这个矩阵把整个平面压扁了，任何图形都会失去全部面积。当一行是另一行的倍数时就会这样。在[ 2 3 ; 4 6 ]里，第二行正好是第一行的两倍，而2 × 6 − 3 × 4 = 0。这样的矩阵没有逆矩阵，也就是能把它的作用撤销的矩阵。
- 矩阵乘法怎么算？
- 矩阵相乘时，第一个矩阵的每一行都要和第二个矩阵的每一列配对。把对应的元素，也就是里面的数，两两相乘，再把这些积加起来，得到的和就是结果矩阵的一个元素。行[3 4]和列[4; 2]相乘，得3 × 4 + 4 × 2 = 12 + 8 = 20。第二关问的正是这样的一个元素。
- 为什么我算的行列式符号总是错？
- 符号出错，几乎都是因为两个积减反了顺序。从左上到右下的那个积永远排在前面。对[ 4 9 ; 2 3 ]，这样算得12 − 18 = −6，是个负的行列式。如果从另一条对角线开始，就会得到6：大小没错，符号却反了。
- 行列式一般几岁学？
- 在很多学校体系里，2×2行列式出现在高中最后几年，也有的体系要等到大学第一门线性代数课才学。这里的矩阵关卡面向17岁的学生。能熟练处理负数和乘法口诀的人，马上就可以开始。
- 全班玩这个行列式对战需要什么？免费吗？
- 只需要笔记本电脑、平板或手机上的浏览器，这款线性代数游戏完全免费，不用注册账号，也不用安装。练习矩阵行列式时，可以把日历的一个月投到黑板上，请每个学生圈出一个不同的2×2日期方块。每个方块的行列式都是−7，比如3 × 11 − 4 × 10，全班还可以用代数证明其中的道理。使用学校方案，按学生人数计费，老师能在看板上看到谁算得越来越快。