数学练习 · 焕然一新
极限游戏
在这场极限对战里，x会趋近1到9中的某个数，或者趋向无穷大；连0/0陷阱在内，每个答案都是1到55之间的整数。比对手先看出函数往哪里走，你的斗士就能抢先出拳。
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什么是函数的极限？
极限是当x越来越接近某个数时，函数值不断靠近的那个值。lim x→3读作“当x趋近于3时”，而且函数在x = 3处甚至可以没有定义。朝一扇门走去，每一步都走完剩下距离的一半：你想离它多近就能多近，那扇门就是你的极限。
例题：求x → 7时(x² − 11x + 28) / (x − 7)的极限
- 先代入7：分子得49 − 77 + 28 = 0，分母得7 − 7 = 0，出现0/0这种未定式，还看不出极限是多少。
- 找出乘积为28、和为11的两个数，它们是7和4，所以分子可以分解成乘积(x − 7)(x − 4)。
- 约去分子和分母中共有的因式(x − 7)，只剩下x − 4。
- 再把7代入x − 4，得到3，所以极限是3，你要输入的答案就是3。
一步一步学
极限问的是：当 x 慢慢趋向某个值时，函数朝哪里去——它瞄准的那个高度。
当函数表现良好时，你直接代入即可。lim(x→2) 的 (x2 + 1) = 22 + 1 = 5。代入并求值。
输入它趋近的那个值。
小贴士和常见错误
- 每次都按同一个顺序来：先代入，得到一个数就结束；得到0/0就因式分解再约分；遇到x → ∞，只比较最高次项。
- 常见的错误是把(x2 − 25) / (x − 5)里的x一个一个划掉。只有完整的因式才能约分，所以要先把分子写成(x − 5)(x + 5)。
- 在家里，用计算器就能看见极限：把x = 3.9、3.99、3.999分别代入(x2 − 16) / (x − 4)，结果7.9、7.99、7.999会一步步逼近8。
怎么玩
每回合出一道极限题，比如lim x→4 (x2 + 3x + 4)，你在数字键盘上输入它趋近的值：32。后面的关卡还会出现x → 9时(x2 − 81) / (x − 9)这样的0/0陷阱，以及x → ∞的极限，但答案始终是正整数。抢先答对，洋葱就会出击；答得越快，这一击就越重。
— 快问快答 —
极限：精简 FAQ
- 极限里的x → ∞是什么意思？
- 它表示x不停地增大，超过你能说出的任何一个数。所以∞是一个方向，而不是可以代入的值。极限问的是函数在这条路上越来越接近哪个值。x越来越大时，1/x越来越接近0。相反，12x除以4x对任何不为0的x都等于3，所以它在无穷远处的极限也是3。
- 含立方差的极限怎么求？
- 用公式a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2)分解分子。对于x → 4时的(x3 − 64) / (x − 4)，分子是(x − 4)(x2 + 4x + 16)。约去(x − 4)再代入：16 + 16 + 16 = 48。这种形式还有个快速验算法：x趋近的那个数的平方乘以3，即3 × 42 = 48。
- 学生一般几岁学极限？
- 在许多学校体系中，学生大约在16到18岁、中学的最后阶段学习极限，进入大学后的第一门微积分课还会再遇到它。课堂上的顺序常常和这里的关卡一样：先代入，再处理0/0型，最后是无穷远处的极限。这里的三个关卡面向17到18岁的学生。
- 为什么约分之后极限还是算错？
- 通常约分本身没错，而是漏了最后一步：剩下的式子还要在那个点上求值。对于x → 9时的(x2 − 13x + 36) / (x − 9)，分子是(x − 9)(x − 4)。约分后剩下x − 4，所以极限是9 − 4 = 5。把括号里剩下的4当成答案输入，是最典型的错误。
- 这个极限对战免费吗？课堂上怎么用？
- 免费：三个关卡全班都能免费玩，在任何浏览器标签页里打开即可，不用注册账号，也不用安装。做极限练习时，可以在黑板上写出(x2 − 9) / (x − 3)、(x3 − 27) / (x − 3)和(x2 − 5x + 6) / (x − 3)。三道题在x = 3时都是0/0，但做了因式分解的小组会求出极限6、27和1。使用按学生人数计费的学校方案，老师可以在看板上看到谁求极限越来越快。