数学练习 · 焕然一新
导数游戏
这款导数对战游戏从 x = 2 处的幂函数求导，一路打到偏导数，每个答案都是 2 到 200 之间的整数，从来不用写式子。求导比对手快，你的斗士就能在对方还在把指数往前挪时先出手。
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什么是导数？
导数表示函数在某一点变化得有多快，在图像上就是曲线在该点的斜率。它写作 f′(x) 或 d/dx。想想汽车的速度表：车往前开时，走过的路程不断增加，而指针显示的正是这一刻路程增加得有多快。
例题：5x³ 在 x = 2 处的导数
- 把指数 3 拿到前面，乘以 5，得到 15。
- 再把指数减 1，从 3 变成 2，所以导函数是 15x2。
- 最后代入 x = 2：22 等于 4，15 × 4 = 60，所以输入 60。
一步一步学
导数衡量某样东西变化得有多快——曲线在某一点的陡峭程度。
幂法则：axn 的 d/dx 是 (a·n)·xn−1——乘以指数，再把指数减一。所以 3x2 的 d/dx 是 6x；在 x = 2 处是 12。
应用法则，代入这个点，输入斜率。
小贴士和常见错误
- 用幂函数求导法则时，指数总是正好减 1：x4 变成含 x3 的项，x2 变成含 x 的项，单独一个 x 则变成一个普通的数。
- 常见错误是太早代入。先把 x = 2 代进 4x3，会得到常数 32，而常数的导数是 0。一定要先求导，再代入。
- 和孩子或学生一起在纸上画出 y = x2，在 x = 1、2、3 处把直尺贴着曲线放。直尺一次比一次陡，正好对应斜率 2、4、6。
怎么玩
典型的一回合会出现“d/dx [4x3] 在 x=2 处”这样的题，你要输入该点的导数值 48。到了复合函数和乘积求导的关卡，只需输入最前面的系数：(3x + 1)5 的导数是 15(3x + 1)4，所以答 15。抢在对手之前答对，西兰花 就会出击，用时越短，打得越重。
— 快问快答 —
导数：精简 FAQ
- d/dx 是什么意思？
- d/dx 的意思是“对 x 求导”，也就是要求出后面的式子随着 x 变化而变化得有多快。所以 d/dx [x3] = 3x2，读作“x 的三次方的导数是 3x2”。d 代表一个极小的差，所以 d/dx 的样子就像斜率：高度的变化除以 x 的变化。
- 多项式怎么求导？
- 多项式要逐项求导，每一项都用幂函数的求导法则。对 3x2 + 4x + 6 来说，3x2 变成 6x，4x 变成 4，常数 6 则消失，因为常数永远不变。所以导数是 6x + 4，在 x = 2 处的值是 6 × 2 + 4 = 16。
- 乘积的求导法则怎么记？
- 可以把乘积法则记成“轮流求导”：第二个因式等着时先对第一个求导，再让第一个等着、对第二个求导，最后把两个结果相加。写成式子就是 (fg)′ = f′g + fg′。用 x2 · x3 验证一下：得到 2x · x3 + x2 · 3x2 = 5x4，和直接对 x5 求导的结果完全一样。
- 复合函数求导为什么总是算错？
- 复合函数求导出错，大多是因为忘了括号里面的部分。对 (2x + 7)5 来说，把 5 拿下来得到 5(2x + 7)4，但里面的 2x + 7 也随 x 变化，变化率是 2。再乘上这个 2，导数才是 10(2x + 7)4。漏乘内层函数的导数，是最典型的错误。
- 这款导数对战游戏免费吗？数学老师可以拿来上课吗？
- 完全免费：六个关卡都能在学校任何笔记本电脑或平板的浏览器里运行，不用注册账号，也不用下载。作为求导练习的开场，可以在黑板上画出 y = x2，让各小组求 x = 3 到 x = 4 之间的斜率，再缩到 3.5，再缩到 3.1。答案依次是 7、6.5、6.1，越来越接近 x = 3 处的导数 6。学校方案按学生人数计价，教师仪表板能显示谁在进步。