数学练习 · 焕然一新
积分计算游戏
在这场积分对战里，每块面积都从x = 0开始，到2或3结束；换元积分关卡只问分母。对手积的是同一条曲线，你每省下一步，你的斗士就能抢先出拳。
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什么是积分？
积分就是把一个不断变化的量累加起来。当曲线位于x轴上方时，定积分给出曲线下方、介于两个x值之间的面积，这两个值叫作积分的下限和上限。想象一辆车在旅途中的速度图像：图像下方的面积，就是这辆车行驶的路程。
例题：∫(0→2) (3x² + 8x + 5) dx
- 逐项积分：3x2变成x3，8x变成4x2，单独的常数5变成5x。
- 把上限x = 2代入x3 + 4x2 + 5x，得到8 + 16 + 10 = 34。
- 在下限x = 0处每一项都是0，不用减去任何数，所以输入34。
一步一步学
积分是求导的反过来——它把微小的薄片加起来，求出曲线下方的面积。
幂法则反过来：∫axn dx = a·xn+1/(n+1)——把指数加一，再除以新的指数。对于 ∫2x dx 从 0 到 3：就是 x2 在 3 处求值 → 9。
积分，在上限处求值（这里下限是 0），输入面积。
小贴士和常见错误
- 把符号当成一句话来读：∫是拉丁文summa（和）的首字母S拉长而成，dx是极窄的宽度。所以∫ 6x2 dx表示把高为6x2的细条全部加起来。
- 常见错误是乘以新的指数，而不是除以它。6x2的积分是2x3，不是18x3；把答案求导一下，应该回到6x2。
- 在方格纸上画出直线y = x，从0画到6，再数一数下面的方格。三角形正好占18格，和x2/2在6处的值一样。
怎么玩
前两个关卡的每个回合都会出一道求面积的题，比如∫(0→3) 8x3 dx，你在数字键盘上输入它等于的整数：162。换元积分关卡会出∫(2x+5)3 dx，只要你答出结果的分母：8。抢在对手之前答对，胡萝卜就会出击；答对得越早，这一击就越重。
— 快问快答 —
积分：精简 FAQ
- 积分里的dx是什么意思？
- 在积分里，dx说明你沿着哪个变量累加，同时代表x方向上一段极小的宽度。所以∫ 6x2 dx可以读成许多细条之和，每条高6x2、宽dx。把细条切得越来越窄，它们的总和就成了精确的面积。没有dx，积分就说不清该沿哪个方向切分。
- 定积分怎么计算？
- 定积分分三步计算。先找一个原函数，也就是求导后正好得到积分号里那个函数的函数。再代入上限，减去它在下限处的值。比如2x从1积到3，原函数是x2，所以9 − 1 = 8。在这个游戏里下限总是0，而这些原函数在0处的值都是0。
- 积分的幂函数公式怎么记？
- 想想袜子和鞋：穿的时候先穿袜子，脱的时候却先脱鞋。求导是先乘以指数，再把指数减1，所以积分要按相反的顺序把这些步骤还原：指数先加1，然后除以加1后的指数。于是12x3变成3x4，而3x4求导又回到12x3。
- 换元积分最常见的错误是什么？
- 最常见的错误是忘了括号里x前面的系数。在∫(3x + 2)4 dx里，把指数加1得到(3x + 2)5除以5，但括号里的量增长速度是x的3倍，所以还要再除以3。分母是3 × 5 = 15，而不是5。把(3x + 2)5 / 15求导，正好回到(3x + 2)4。
- 在课堂上用这个积分对战游戏要花钱吗？
- 不用花钱：从单项式到换元积分，三个关卡都能在学校笔记本电脑或平板的浏览器标签页里打开，学生也不用注册账号。想在黑板上做积分练习，可以让各小组找出从0到2的面积正好是8的函数。常数4、直线4x和曲线3x2都符合，三者形状却完全不同。使用按学生人数计费的学校方案，老师可以在看板上看到谁的积分越算越好。