数学练习 · 焕然一新
排列组合游戏
在这场排列组合对决中，可选的东西最多只有 8 个，答案却从 4 一路涨到 1680，也就是奥赛级别里 ₈P₄ 的值。比对手先数清每一种情况，每个正确答案都会变成你的斗士的一拳。
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什么是排列和组合？
排列和组合是两种不必逐一列出、就能数清选法的方法。组合是不讲顺序的一组：苹果和梨，与梨和苹果是同一对。排列是讲顺序的一排：先吃苹果再吃梨，和先吃梨再吃苹果是两种不同的情况。游戏里的排列数用字母 P 表示，课本中也常写作 A。
例题：从 6 个里选 2 个，有几种选法？
- ₆C₂ 问的是：不讲顺序时，从 6 个东西里选出 2 个，一共有多少种不同的组。
- 先按顺序选：第一个有 6 种选法，第二个有 5 种，所以 6 × 5 = 30 种有顺序的选法。
- 每一组都按“A 再 B”和“B 再 A”数了两次，所以取 30 的一半，输入 15。
一步一步学
nCk 数的是从 n 个里选 k 个、且顺序无关时有多少种选法——就像选一支队伍，谁先被点到都一样。
5C2（“从 5 个里选 2 个”）= 10。公式是 n! ÷ (k! × (n−k)!)，但思路很简单：你能组成多少个不同的组？
输入可能的组数。
小贴士和常见错误
- ₆P₃ 里的小 3 告诉你要从 6 开始往下乘几个数：6 × 5 × 4 = 120。乘到这里就停，不要一直乘到 1。
- 常见错误是在组合里把两种顺序都算上。做 ₄C₂ 时把 AB 和 BA 分开写会得到 12；划掉重复的，只剩 6 组。
- 家庭聚餐时，问问如果每个人都和其他人握一次手，一共要握几次。七个人是 21 次，正好是 ₇C₂，每多来一位客人，次数还会增加。
怎么玩
每回合都会出现 ₇C₃ 或 ₄P₂ 这样的符号：左边的小数字表示一共有几个，右边的小数字表示要选几个。在键盘上输入结果，先看清字母，因为奥赛级别会把 C 和 P 混在一起。只有第一个正确答案能命中，答得越早，西兰花 打得越重。
— 快问快答 —
排列组合：精简 FAQ
- 排列和组合有什么区别？
- 区别在于：把选出的两个东西对调，会不会得到新的结果。排列会，就像门锁密码，1-2-3 和 3-2-1 是两个不同的密码。组合不会，就像手里的一把扑克牌。从 4 个字母里选，₄P₃ = 24，而 ₄C₃ = 4，因为每组 3 个字母都能排出 6 种顺序。
- 不用计算器怎么算组合数？
- 先数出有顺序的选法，再除以每一组的排列方式数。算 ₇C₃ 时，有顺序地选 3 个共有 7 × 6 × 5 = 210 种。每组 3 个可以排成 3 × 2 × 1 = 6 种顺序，所以 ₇C₃ = 210 ÷ 6 = 35。先约分更快：上面的 6 和下面的 6 约掉，剩下 7 × 5 = 35。
- 有没有快速求组合数的窍门？
- 有，杨辉三角里藏着所有的组合数。最上面写 1，下面每个新数都等于它肩上两个数的和。把最上面一行算作第 0 行，第 6 行是 1、6、15、20、15、6、1，所以 ₆C₃ = 20。每一行左右对称，因此 ₆C₄ = ₆C₂ = 15：挑出要留下的 4 个，等于挑出要拿走的 2 个。
- 为什么学生总把排列和组合搞混？
- 因为两类问题的说法常常很像，题目也不一定直接说明顺序是否重要。用一个小例子就能分清。从 A、B、C 里选两个，组有 AB、AC、BC，所以 ₃C₂ = 3。讲顺序的话，还要加上 BA、CA、CB，所以 ₃P₂ = 6。把两张清单并排看，区别就记住了。
- 有没有免费把排列组合带进课堂的办法？
- 有：三个关卡，包括奥赛级别的混合关，都能在任何浏览器里免费打开，学生不用注册账号，也不用安装。在黑板上练习计数时，请 5 名同学上台，问他们能组成多少个 3 人委员会。再问他们安排主席、秘书和财务有多少种方法。答案 10 和 60 说明每个委员会都有 6 种排法。如果选用按学生计费的学校方案，老师还能在仪表板上看到谁算得越来越快。