Vad säger skalärprodukten av två vektorer?

Skalärprodukten säger med ett enda tal hur mycket två vektorer pekar åt samma håll: den är längderna gånger varandra och gånger cosinus för vinkeln mellan dem. Under 90° är den positiv, vid rät vinkel 0 och över det negativ. För ⟨2; 6⟩ och ⟨3; −1⟩ blir den 2 × 3 + 6 × (−1) = 0, så de är vinkelräta. I spelet går varje koordinat från 1 till 9, så skalärprodukten är alltid positiv.

Hur omvandlar man polära koordinater till rektangulära?

För rektangulära koordinater multiplicerar du längden r med cos θ för x och med sin θ för y. Polära koordinater anger en punkt med ett avstånd och en vinkel, rektangulära med ett steg åt sidan och ett steg uppåt. Med r = 12 och θ = 30° blir y = 12 × sin 30° = 12 × ½ = 6. Spelet använder jämna r och vinklar vars sinus eller cosinus är 0, ½ eller 1, ibland negativ, så att svaret blir ett heltal.

Finns det ett knep för att snabbt hitta en vektors längd?

Det snabbaste knepet är att känna igen den pythagoreiska trippeln bakom vektorn: tre heltal där kvadraterna på de två första tillsammans blir kvadraten på det tredje. Spelet bygger alla vektorer av bara fem tripplar, till exempel 5, 12 och 13 eller 8, 15 och 17, eller av en multipel av dem. Därför är ⟨16; 12⟩ fyra gånger ⟨4; 3⟩, och längden är 4 × 5 = 20.

Varför blir min x-koordinat negativ?

Ett negativt x är rätt svar så fort vinkeln är över 90°, för då pekar pilen åt vänster om sin startpunkt. Eftersom cos 120° = −½ ger r = 8 och θ = 120° x = 8 × (−½) = −4, och vid 180° är x minus hela längden. Skriv det med minustangenten. Här blir y aldrig negativ, eftersom ingen vinkel går förbi 180°.

Är det här mattespelet om vektorer gratis, och hur använder man det i klassen?

Ja, alla tre vektornivåerna är gratis i vilken webbläsare som helst, och ingen behöver registrera sig eller installera något. Fråga som uppvärmning hur många pilar med heltalskoordinater som är exakt 13 långa. Eleverna letar i par, till exempel ⟨5; 12⟩ och ⟨−13; 0⟩, tills alla 12 är hittade; ritade från samma punkt hamnar spetsarna på en cirkel. Med skolabonnemanget betalar läraren per elev och ser på en översiktspanel vem som blir bättre.

Matteträning · nytänkt

Spel med vektorer

I det här mattespelet om vektorer kommer pilarna som talpar som ⟨24; 7⟩ eller som en längd och en vinkel, och varje svar är ett heltal från −24 till 162. Bli klar först, så slår din kämpe till medan motståndaren fortfarande kvadrerar och adderar.

Åldrarna 4–99+ · ingen nedladdning · spelas i din webbläsare · 23 språk

Välj din nivå ▸

Vad är en vektor?

En vektor är en storhet med både storlek och riktning, ritad som en pil. En vind på 20 km/h är bara en fart tills du säger att den blåser mot norr; då är den en vektor. Två pilar är samma vektor när de är lika långa och pekar åt samma håll, var de än börjar.

Alla nivåer i Vektorer

Exempel: längden av ⟨24; 7⟩

Strecken runt ⟨24; 7⟩ frågar efter längden: pilen går 24 åt sidan och 7 uppåt.
Multiplicera varje koordinat med sig själv: 24 × 24 = 576 och 7 × 7 = 49.
Lägg ihop de två kvadraterna till 625 och leta upp talet som gånger sig självt blir 625: det är 25.
Pilen är 25 lång, lite mer än sina 24 åt sidan, så du skriver 25.

Lär dig steg för steg

En vektor ⟨x, y⟩ är en pil: gå x steg i sidled och y steg uppåt. Dess belopp är helt enkelt hur LÅNG den pilen är, mätt rakt från start till spets.

Eftersom sidledssteget och uppåtsteget bildar en rät vinkel, är pilen hypotenusan i en rätvinklig triangel — så dess längd är √(x² + y²), Pythagoras sats. För ⟨3; 4⟩: √(9 + 16) = √25 = 5. (Dessa väljs så att längden alltid blir ett heltal.)

Kvadrera varje del, addera, ta kvadratroten, och skriv längden.

Tips och vanliga misstag

Tänk dig θ = 0°: pilen ligger platt på x-axeln, så x är hela längden r. Eftersom cos 0° = 1 hör x ihop med cos och y med sin.
Ett vanligt fel är att lägga ihop de två koordinaterna: ⟨12; 9⟩ är inte 21 lång, för den raka pilen genar över hörnet. Räkna i stället 144 + 81 = 225, och √225 = 15.
Öva vektoraddition på golvet: gå 6 plattor, sväng i rät vinkel, gå 8, alltså ⟨6; 0⟩ + ⟨0; 8⟩ = ⟨6; 8⟩. Ett snöre tillbaka till start mäter 10 plattor.

Så spelar du

Vektorerna dyker upp i tre former: |⟨21; 20⟩| frågar efter en längd, 29; r=10, θ=120°, x=? vill ha −5 med minustangenten; ⟨7; 2⟩ · ⟨3; 9⟩ vill ha en skalärprodukt, 39. Skriv varje heltal på knappsatsen före motståndaren, så slår Chili hårdare ju tidigare ditt svar kommer.

— Snabba svar —

Vektorer: den korta FAQ:n

Vad säger skalärprodukten av två vektorer?: Skalärprodukten säger med ett enda tal hur mycket två vektorer pekar åt samma håll: den är längderna gånger varandra och gånger cosinus för vinkeln mellan dem. Under 90° är den positiv, vid rät vinkel 0 och över det negativ. För ⟨2; 6⟩ och ⟨3; −1⟩ blir den 2 × 3 + 6 × (−1) = 0, så de är vinkelräta. I spelet går varje koordinat från 1 till 9, så skalärprodukten är alltid positiv.
Hur omvandlar man polära koordinater till rektangulära?: För rektangulära koordinater multiplicerar du längden r med cos θ för x och med sin θ för y. Polära koordinater anger en punkt med ett avstånd och en vinkel, rektangulära med ett steg åt sidan och ett steg uppåt. Med r = 12 och θ = 30° blir y = 12 × sin 30° = 12 × ½ = 6. Spelet använder jämna r och vinklar vars sinus eller cosinus är 0, ½ eller 1, ibland negativ, så att svaret blir ett heltal.
Finns det ett knep för att snabbt hitta en vektors längd?: Det snabbaste knepet är att känna igen den pythagoreiska trippeln bakom vektorn: tre heltal där kvadraterna på de två första tillsammans blir kvadraten på det tredje. Spelet bygger alla vektorer av bara fem tripplar, till exempel 5, 12 och 13 eller 8, 15 och 17, eller av en multipel av dem. Därför är ⟨16; 12⟩ fyra gånger ⟨4; 3⟩, och längden är 4 × 5 = 20.
Varför blir min x-koordinat negativ?: Ett negativt x är rätt svar så fort vinkeln är över 90°, för då pekar pilen åt vänster om sin startpunkt. Eftersom cos 120° = −½ ger r = 8 och θ = 120° x = 8 × (−½) = −4, och vid 180° är x minus hela längden. Skriv det med minustangenten. Här blir y aldrig negativ, eftersom ingen vinkel går förbi 180°.
Är det här mattespelet om vektorer gratis, och hur använder man det i klassen?: Ja, alla tre vektornivåerna är gratis i vilken webbläsare som helst, och ingen behöver registrera sig eller installera något. Fråga som uppvärmning hur många pilar med heltalskoordinater som är exakt 13 långa. Eleverna letar i par, till exempel ⟨5; 12⟩ och ⟨−13; 0⟩, tills alla 12 är hittade; ritade från samma punkt hamnar spetsarna på en cirkel. Med skolabonnemanget betalar läraren per elev och ser på en översiktspanel vem som blir bättre.

Mer matte att bemästra

Redo att köra?

Spela gratis ▸