Vad är en geometrisk summa?

En geometrisk summa adderar termer där varje term är den förra multiplicerad med samma tal, kvoten k. I 3 + 6 + 12 + 24 är kvoten 2 och summan 45. Med första term a, kvot k och n termer är summan a(kⁿ − 1)/(k − 1), här alltså 3 × 15/1 = 45. Spelets geometriska nivå använder det enklaste fallet: 1 + 2 + 4 + ⋯, med kvoten 2.

Hur räknar man ut en aritmetisk summa?

En aritmetisk summa räknas ut med tre uppgifter: första termen, sista termen och antalet termer. Saknas den sista bygger du den med differensen d, det fasta steget mellan termerna: aₙ = a₁ + (n − 1)d. För 4 + 7 + 10 + ⋯ med 10 termer är den sista 4 + 9 × 3 = 31, så summan är hälften av 10 × 35: 175.

Hur kommer man ihåg serien för eˣ?

Tänk på den som par som hör ihop: varje potens av x står över fakulteten av samma tal. Alltså är eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ⋯, där n!, som uttalas ”n fakultet”, är 1 × 2 × ⋯ × n. Termen med x⁵ står därför över 5! = 120. Sätter du x = 1 ger termerna själva talet e, ungefär 2,72.

Varför räknar man fel på antalet termer?

Många elever delar avståndet med steget och glömmer att räkna med den första termen. Från 5 till 50 i steg om 3 finns 15 hopp, eftersom 50 − 5 = 45 rymmer 15 treor, men det finns 16 termer. Tänk på stolparna i ett staket: 15 mellanrum behöver 16 stolpar. Därför har 5 + 8 + 11 + ⋯ + 50 16 termer och summan 440, inte 412,5.

Hur kan en lärare börja en lektion om serier med spelet, och är det gratis?

Du kan börja med en tävling vid tavlan, och spelet kostar ingenting: varje nivå öppnas i webbläsaren utan inloggning eller nedladdning. Som övning i aritmetiska summor skriver du 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ och låter klassen ropa ut varje delsumma: 1; 4; 9; 16; 25. När eleverna ser kvadrattalen frågar du efter summan av de 30 första udda talen: 900. Med skolabonnemanget, prissatt per elev, visar en översikt vem som blir bättre på summor.

Matteträning · nytänkt

Spel med summor och serier

I den här utmaningen med summor och serier lägger du ihop upp till 40 termer i en aritmetisk talföljd på en gång, och högst upp väntar serien för e^x, där x⁷ står över 5040. Att addera term för term går för långsamt här: den första rätta summan skickar din kämpe till anfall.

Åldrarna 4–99+ · ingen nedladdning · spelas i din webbläsare · 23 språk

Välj din nivå ▸

Vad är en serie i matematik?

En serie är summan av en talföljd: talen i en ordnad lista, som kallas termer, adderade till en enda summa. Talföljden 3; 5; 7; 9 har fyra termer, men serien 3 + 5 + 7 + 9 är ett enda tal, 24. Serier kan vara korta, långa eller till och med oändliga, och ofta ger en formel summan utan att du adderar varje term.

Alla nivåer i Series

Exempel: 1 + 2 + 4 + ⋯ med 5 termer

Varje term är dubbelt så stor som den förra, så de fem termerna är 1, 2, 4, 8 och 16.
Addera dem en i taget: 1 + 2 = 3, sedan 3 + 4 = 7, 7 + 8 = 15 och 15 + 16 = 31.
Kontrollera med genvägen för det här mönstret: 2⁵ = 32, och summan är en mindre, 31.
Summan är 31, så du skriver 31 på knappsatsen.

Lär dig steg för steg

A series is what you get when you add a sequence up. Adding evenly-spaced numbers one at a time is slow, and there is a much better way.

The story goes that a schoolboy named Gauss was told to add 1 to 100 and answered almost at once. He had noticed that the numbers pair up from the outside in: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101. Fifty pairs, each worth 101, giving 5050.

The general rule is the same idea: S = n × (a₁ + aₙ) : 2. Read it as "how many terms, times the average of the first and the last", because in an evenly-spaced list the average really is just the midpoint of the two ends. This is an ARITHMETIC series — every term is the last one plus the same step — and here that step is often a fraction, which does not matter: the rule only needs the first term, the last term and how many there are.

Add the first and last term, multiply by the number of terms, halve it, and type the sum.

Tips och vanliga misstag

För att addera 1 + 2 + ⋯ + n multiplicerar du n med nästa tal och halverar: för 1 + 2 + ⋯ + 12 blir 12 × 13 = 156, och hälften är 78.
Ett vanligt misstag är att leta efter differensen mellan termerna. Med a₁ = 15, aₙ = 44 och n = 6 är den 5,8, men summan är bara hälften av 6 × 59: 177.
Utmana någon på en tävling utan skärm: en adderar 2 + 4 + 6 + ⋯ + 20 term för term, den andra halverar 10 × 22. Båda ska landa på 110.

Så spelar du

På första nivån visar varje rond en summa att göra klar, som ”Summa: a₁=13, aₙ=37, n=12” med första term, sista term och antal, så du skriver 300. En annan nivå är ett spel med geometriska summor i liten skala: ”1+2+4+⋯, 7 termer, summa=?” vill ha 127. Hinner du före din rival med summan slår Tomat till, och en snabb summa blir ett hårt slag.

— Snabba svar —

Series: den korta FAQ:n

Vad är en geometrisk summa?: En geometrisk summa adderar termer där varje term är den förra multiplicerad med samma tal, kvoten k. I 3 + 6 + 12 + 24 är kvoten 2 och summan 45. Med första term a, kvot k och n termer är summan a(kⁿ − 1)/(k − 1), här alltså 3 × 15/1 = 45. Spelets geometriska nivå använder det enklaste fallet: 1 + 2 + 4 + ⋯, med kvoten 2.
Hur räknar man ut en aritmetisk summa?: En aritmetisk summa räknas ut med tre uppgifter: första termen, sista termen och antalet termer. Saknas den sista bygger du den med differensen d, det fasta steget mellan termerna: aₙ = a₁ + (n − 1)d. För 4 + 7 + 10 + ⋯ med 10 termer är den sista 4 + 9 × 3 = 31, så summan är hälften av 10 × 35: 175.
Hur kommer man ihåg serien för eˣ?: Tänk på den som par som hör ihop: varje potens av x står över fakulteten av samma tal. Alltså är e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ⋯, där n!, som uttalas ”n fakultet”, är 1 × 2 × ⋯ × n. Termen med x⁵ står därför över 5! = 120. Sätter du x = 1 ger termerna själva talet e, ungefär 2,72.
Varför räknar man fel på antalet termer?: Många elever delar avståndet med steget och glömmer att räkna med den första termen. Från 5 till 50 i steg om 3 finns 15 hopp, eftersom 50 − 5 = 45 rymmer 15 treor, men det finns 16 termer. Tänk på stolparna i ett staket: 15 mellanrum behöver 16 stolpar. Därför har 5 + 8 + 11 + ⋯ + 50 16 termer och summan 440, inte 412,5.
Hur kan en lärare börja en lektion om serier med spelet, och är det gratis?: Du kan börja med en tävling vid tavlan, och spelet kostar ingenting: varje nivå öppnas i webbläsaren utan inloggning eller nedladdning. Som övning i aritmetiska summor skriver du 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ och låter klassen ropa ut varje delsumma: 1; 4; 9; 16; 25. När eleverna ser kvadrattalen frågar du efter summan av de 30 första udda talen: 900. Med skolabonnemanget, prissatt per elev, visar en översikt vem som blir bättre på summor.

Mer matte att bemästra

Redo att köra?

Spela gratis ▸