Что означает d/dx?

d/dx означает «производная по x»: это указание найти, как быстро меняется то, что стоит дальше, когда меняется x. Так, d/dx [x³] = 3x², что читается «производная икс в кубе равна трём икс в квадрате». Буква d обозначает крошечную разность, поэтому d/dx напоминает наклон: изменение высоты, делённое на изменение x.

Как найти производную многочлена?

Многочлен дифференцируют почленно, применяя правило для степени к каждому слагаемому. В 3x² + 4x + 6 слагаемое 3x² превращается в 6x, 4x — в 4, а 6 исчезает, потому что константа никогда не меняется. Значит, производная равна 6x + 4, а её значение при x = 2 равно 6 · 2 + 4 = 16.

Как запомнить производную произведения?

Запомни производную произведения как работу по очереди: дифференцируешь первый множитель, пока второй ждёт, потом второй, пока ждёт первый, и складываешь оба результата. В символах: (fg)′ = f′g + fg′. Проверь на x² · x³: выходит 2x · x³ + x² · 3x² = 5x⁴, ровно то же, что даёт производная x⁵.

Почему у меня не получается производная сложной функции?

Большинство ошибок с производной сложной функции — это забытое содержимое скобки. Для (2x + 7)⁵ вынос 5 вперёд даёт 5(2x + 7)⁴, но внутренняя часть, 2x + 7, тоже меняется вместе с x, со скоростью 2. Умножь ещё и на эту двойку, и производная равна 10(2x + 7)⁴. Забыть производную внутренней функции — классический промах.

Может ли учитель математики бесплатно использовать эту игру с производными?

Да, и платить ничего не нужно: все шесть уровней работают в браузере любого школьного ноутбука или планшета, без аккаунтов и загрузок. Чтобы потренировать дифференцирование в классе, нарисуй на доске y = x² и попроси группы найти наклон между x = 3 и x = 4, затем до 3,5 и затем до 3,1. Получится 7, потом 6,5 и 6,1 — всё ближе к 6, производной в точке 3. С тарифом для школ, с оплатой за ученика, панель учителя показывает, кто делает успехи.

Тренировка математики · переосмысленная

Игра с производными

Эта игра на производные ведёт от производной степени в точке x = 2 до частных производных, и каждый ответ — целое число от 2 до 200, никогда не формула. Дифференцируй быстрее соперника, и твой боец ударит, пока тот ещё выносит показатель вперёд.

Возраст 4–99+ · без скачивания · играй в браузере · 23 языков

Выбери свой уровень ▸

Что такое производная?

Производная показывает, как быстро меняется функция в одной конкретной точке, а на графике это наклон кривой в этой точке. Её записывают как f′(x) или d/dx. Вспомни спидометр: пока машина едет, пройденный путь растёт, а стрелка показывает, как быстро он растёт именно в этот момент.

Все уровни: Производная

Пример: производная 5x³ в точке x = 2

Вынеси показатель 3 вперёд и умножь его на 5: получится 15.
Затем уменьши показатель на единицу, с 3 до 2, и производная равна 15x².
Теперь подставь x = 2: 2² равно 4, а 15 · 4 = 60, так что вводишь 60.

Шаг за шагом

Производная измеряет, как быстро что-то меняется — крутизну кривой в точке.

Правило степени: d/dx от axⁿ — это (a·n)·xⁿ⁻¹ — умножь на показатель, потом уменьши показатель на единицу. Значит, d/dx от 3x² — это 6x; при x = 2 это 12.

Примени правило, подставь точку и введи наклон.

Советы и частые ошибки

По правилу для степени показатель всегда уменьшается ровно на единицу: x⁴ даёт слагаемое с x³, x² — слагаемое с x, а одиночный x — просто число.
Частая ошибка — подставить точку слишком рано. Подставишь x = 2 в 4x³ сразу и получишь 32, константу с производной 0. Сначала дифференцируй, потом подставляй.
Нарисуй с учеником y = x² на бумаге и приложи линейку к кривой в x = 1, 2 и 3. С каждым разом она наклоняется сильнее: наклоны равны 2, 4 и 6.

Как играть

Типичный раунд показывает d/dx [4x³] при x=2, и ты вводишь значение производной в этой точке: 48. На уровнях с производной сложной функции и произведения вводишь только число впереди: производная (3x + 1)⁵ равна 15(3x + 1)⁴, так что ответ 15. Ответь верно раньше соперника, и Брокколи атакует; чем меньше времени ушло, тем тяжелее удар.

— Быстрые ответы —

Производная: короткий FAQ

Что означает d/dx?: d/dx означает «производная по x»: это указание найти, как быстро меняется то, что стоит дальше, когда меняется x. Так, d/dx [x³] = 3x², что читается «производная икс в кубе равна трём икс в квадрате». Буква d обозначает крошечную разность, поэтому d/dx напоминает наклон: изменение высоты, делённое на изменение x.
Как найти производную многочлена?: Многочлен дифференцируют почленно, применяя правило для степени к каждому слагаемому. В 3x² + 4x + 6 слагаемое 3x² превращается в 6x, 4x — в 4, а 6 исчезает, потому что константа никогда не меняется. Значит, производная равна 6x + 4, а её значение при x = 2 равно 6 · 2 + 4 = 16.
Как запомнить производную произведения?: Запомни производную произведения как работу по очереди: дифференцируешь первый множитель, пока второй ждёт, потом второй, пока ждёт первый, и складываешь оба результата. В символах: (fg)′ = f′g + fg′. Проверь на x² · x³: выходит 2x · x³ + x² · 3x² = 5x⁴, ровно то же, что даёт производная x⁵.
Почему у меня не получается производная сложной функции?: Большинство ошибок с производной сложной функции — это забытое содержимое скобки. Для (2x + 7)⁵ вынос 5 вперёд даёт 5(2x + 7)⁴, но внутренняя часть, 2x + 7, тоже меняется вместе с x, со скоростью 2. Умножь ещё и на эту двойку, и производная равна 10(2x + 7)⁴. Забыть производную внутренней функции — классический промах.
Может ли учитель математики бесплатно использовать эту игру с производными?: Да, и платить ничего не нужно: все шесть уровней работают в браузере любого школьного ноутбука или планшета, без аккаунтов и загрузок. Чтобы потренировать дифференцирование в классе, нарисуй на доске y = x² и попроси группы найти наклон между x = 3 и x = 4, затем до 3,5 и затем до 3,1. Получится 7, потом 6,5 и 6,1 — всё ближе к 6, производной в точке 3. С тарифом для школ, с оплатой за ученика, панель учителя показывает, кто делает успехи.

Больше математики для освоения

Готов сразиться?

Играть бесплатно ▸