Что означает dx в интеграле?

В интеграле dx указывает переменную, вдоль которой идёт суммирование, и обозначает крошечную ширину по x. Значит, ∫ 6x² dx читается как сумма полосок высотой 6x² и шириной dx. Делай полоски всё тоньше, и их сумма станет точной площадью. Без dx интеграл не говорил бы, в каком направлении резать.

Как вычислить определённый интеграл?

Определённый интеграл вычисляют в три шага. Найди первообразную, то есть функцию, производная которой — функция под интегралом. Подставь верхний предел и вычти значение на нижнем пределе. Для 2x от 1 до 3 первообразная — x², поэтому 9 − 1 = 8. В этой игре нижний предел всегда 0, где эти первообразные равны 0.

Как запомнить формулу интеграла степени?

Вспомни носки и ботинки: сначала надеваешь носки, но снимаешь сначала ботинки. Дифференцирование умножает на показатель, а потом уменьшает его на единицу, так что интегрирование отменяет эти шаги в обратном порядке: показатель растёт на единицу, а потом ты делишь на новый показатель. Так 12x³ превращается в 3x⁴, а производная 3x⁴ снова даёт 12x³.

Какая самая частая ошибка при замене переменной в интеграле?

Самая частая ошибка — забыть число перед x внутри скобки. В ∫(3x + 2)⁴ dx повышение степени даёт (3x + 2)⁵, делённое на 5, но скобка растёт в 3 раза быстрее, чем x, поэтому делить нужно ещё и на 3. Знаменатель равен 3 × 5 = 15, а не 5. Продифференцируй (3x + 2)⁵ / 15, и получишь ровно (3x + 2)⁴.

Сколько стоит использовать эту игру по интегральному исчислению на уроке?

Нисколько: все три уровня, от отдельных степеней до замены переменной, открываются во вкладке браузера на школьных ноутбуках или планшетах, без учётных записей для учеников. Чтобы потренировать интегрирование у доски, попроси группы найти функции, у которых площадь от 0 до 2 равна ровно 8. Подходят константа 4, прямая 4x и кривая 3x², и у всех трёх совсем разная форма. С тарифом для школ, оплачиваемым за ученика, панель учителя показывает, кто делает успехи в интегралах.

Тренировка математики · переосмысленная

Игра с интегралами

В этой игре про интегралы каждая площадь начинается в x = 0 и заканчивается в 2 или 3, а уровень с заменой переменной спрашивает только знаменатель. Соперник интегрирует ту же функцию, так что каждый сэкономленный шаг помогает твоему бойцу ударить первым.

Возраст 4–99+ · без скачивания · играй в браузере · 23 языков

Выбери свой уровень ▸

Что такое интеграл?

Интеграл складывает величину, которая всё время меняется. Если график лежит выше оси x, определённый интеграл даёт площадь под ним между двумя значениями x, которые называют пределами интегрирования. Представь график скорости машины во время поездки: площадь под ним — это пройденный путь.

Все уровни: Интеграл

Пример: ∫(0→2) (3x² + 8x + 5) dx

Интегрируй по одному слагаемому: 3x² превращается в x³, 8x — в 4x², а одинокое 5 — в 5x.
Подставь верхний предел, x = 2, в x³ + 4x² + 5x: получится 8 + 16 + 10 = 34.
На нижнем пределе, x = 0, каждое слагаемое равно 0, так что вычитать нечего, и ты вводишь 34.

Шаг за шагом

Интегрирование — это дифференцирование наоборот — оно складывает крошечные кусочки, чтобы найти ПЛОЩАДЬ под кривой.

Правило степени переворачивается: ∫axⁿ dx = a·xⁿ⁺¹/(n+1) — увеличь показатель на единицу, потом раздели на новый показатель. Для ∫2x dx от 0 до 3: это x², вычисленное в 3 → 9.

Проинтегрируй, вычисли в верхнем пределе (нижний здесь 0) и введи площадь.

Советы и частые ошибки

Читай символы как фразу: ∫ — это вытянутая латинская S от summa, то есть «сумма», а dx — очень маленькая ширина. Значит, ∫ 6x² dx — это сумма тонких полосок высотой 6x².
Частая ошибка — умножать на новый показатель вместо деления. Интеграл от 6x² равен 2x³, а не 18x³; продифференцируй ответ, и должно получиться 6x².
Нарисуй на клетчатой бумаге прямую y = x от 0 до 6 и посчитай клетки под ней. Треугольник занимает 18, ровно столько, сколько даёт x²/2 при 6.

Как играть

На первых двух уровнях каждый раунд показывает площадь, которую нужно найти, например ∫(0→3) 8x³ dx, и ты набираешь на клавиатуре целое число, которому она равна: 162. Уровень с заменой переменной показывает ∫(2x+5)³ dx и просит только знаменатель ответа: 8. Ответь раньше соперника, и Морковь бьёт, тем сильнее, чем раньше ты прав.

— Быстрые ответы —

Интеграл: короткий FAQ

Что означает dx в интеграле?: В интеграле dx указывает переменную, вдоль которой идёт суммирование, и обозначает крошечную ширину по x. Значит, ∫ 6x² dx читается как сумма полосок высотой 6x² и шириной dx. Делай полоски всё тоньше, и их сумма станет точной площадью. Без dx интеграл не говорил бы, в каком направлении резать.
Как вычислить определённый интеграл?: Определённый интеграл вычисляют в три шага. Найди первообразную, то есть функцию, производная которой — функция под интегралом. Подставь верхний предел и вычти значение на нижнем пределе. Для 2x от 1 до 3 первообразная — x², поэтому 9 − 1 = 8. В этой игре нижний предел всегда 0, где эти первообразные равны 0.
Как запомнить формулу интеграла степени?: Вспомни носки и ботинки: сначала надеваешь носки, но снимаешь сначала ботинки. Дифференцирование умножает на показатель, а потом уменьшает его на единицу, так что интегрирование отменяет эти шаги в обратном порядке: показатель растёт на единицу, а потом ты делишь на новый показатель. Так 12x³ превращается в 3x⁴, а производная 3x⁴ снова даёт 12x³.
Какая самая частая ошибка при замене переменной в интеграле?: Самая частая ошибка — забыть число перед x внутри скобки. В ∫(3x + 2)⁴ dx повышение степени даёт (3x + 2)⁵, делённое на 5, но скобка растёт в 3 раза быстрее, чем x, поэтому делить нужно ещё и на 3. Знаменатель равен 3 × 5 = 15, а не 5. Продифференцируй (3x + 2)⁵ / 15, и получишь ровно (3x + 2)⁴.
Сколько стоит использовать эту игру по интегральному исчислению на уроке?: Нисколько: все три уровня, от отдельных степеней до замены переменной, открываются во вкладке браузера на школьных ноутбуках или планшетах, без учётных записей для учеников. Чтобы потренировать интегрирование у доски, попроси группы найти функции, у которых площадь от 0 до 2 равна ровно 8. Подходят константа 4, прямая 4x и кривая 3x², и у всех трёх совсем разная форма. С тарифом для школ, оплачиваемым за ученика, панель учителя показывает, кто делает успехи в интегралах.

Больше математики для освоения

Готов сразиться?

Играть бесплатно ▸