두 벡터의 내적은 무엇을 알려 주나요?

내적은 두 벡터가 얼마나 같은 쪽을 향하는지를 수 하나로 알려 줘요. 두 벡터의 크기와 그 사이 각의 코사인을 곱한 값이에요. 각이 90°보다 작으면 양수, 직각이면 0, 더 크면 음수가 돼요. ⟨2, 6⟩과 ⟨3, −1⟩은 2 × 3 + 6 × (−1) = 0이니 서로 수직이에요. 게임에서는 성분이 모두 1부터 9까지라서 내적이 언제나 양수예요.

극좌표를 직교좌표로 바꾸는 방법은?

직교좌표를 구하려면 길이 r에 cos θ를 곱해 x를, sin θ를 곱해 y를 구해요. 극좌표는 점의 위치를 거리와 각도로, 직교좌표는 옆으로 가는 양과 위로 가는 양으로 나타내요. r = 12, θ = 30°일 때 y = 12 × sin 30° = 12 × ½ = 6이에요. 게임에서는 r이 짝수이고, 사인이나 코사인이 0, ½, 1인 각도만 나와요. 음수가 될 때도 있지만 답은 항상 정수예요.

벡터의 크기를 빨리 구하는 요령이 있나요?

가장 빠른 요령은 벡터 뒤에 숨은 피타고라스 수를 알아보는 거예요. 피타고라스 수는 앞의 두 수의 제곱의 합이 세 번째 수의 제곱과 같은 세 정수예요. 이 게임은 5, 12, 13이나 8, 15, 17 같은 다섯 쌍의 피타고라스 수나 그 배수로 모든 벡터를 만들어요. 그래서 ⟨16, 12⟩는 ⟨4, 3⟩의 4배이고, 크기는 4 × 5 = 20이에요.

x 성분이 왜 음수로 나오나요?

각도가 90°를 넘으면 화살표가 출발점보다 왼쪽을 향하니, 음수 x가 맞는 답이에요. cos 120° = −½이므로 r = 8, θ = 120°일 때 x = 8 × (−½) = −4예요. 180°에서는 x가 길이 전체에 마이너스를 붙인 값이 돼요. 마이너스 키로 입력하세요. 여기서는 180°를 넘는 각도가 없어서 y가 음수가 되는 일은 없어요.

이 벡터 수학 게임은 무료인가요? 수업에서는 어떻게 쓰면 좋을까요?

네, 벡터의 세 레벨은 어느 브라우저에서나 무료이고, 가입하거나 설치할 필요가 없어요. 수업 준비 운동으로, 성분이 정수이고 길이가 정확히 13인 화살표가 몇 개인지 물어보세요. 학생들은 짝을 지어 ⟨5, 12⟩나 ⟨−13, 0⟩ 같은 화살표를 찾다가 12개를 모두 찾아내요. 한 점에서 그리면 끝점들이 원 위에 놓여요. 학교 요금제는 학생 수에 따라 요금이 매겨지고, 누가 실력이 늘고 있는지 교사용 대시보드에서 보여 줘요.

수학 연습 · 새롭게 재해석하다

벡터 게임

이 벡터 수학 게임에서는 화살표가 ⟨24, 7⟩ 같은 수의 쌍이나 길이와 각도로 나오고, 답은 언제나 −24부터 162까지의 정수예요. 상대가 아직 제곱하고 더하는 동안 먼저 답하면 내 파이터가 공격해요.

4–99+세 · 다운로드 불필요 · 브라우저에서 바로 플레이 · 23개 언어 지원

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벡터란 무엇일까요?

벡터는 크기와 방향을 함께 가진 양으로, 화살표로 그려요. 시속 20 km로 부는 바람은 북쪽으로 분다고 말하기 전까지는 그냥 빠르기예요. 방향을 말하는 순간 벡터가 돼요. 두 화살표는 길이가 같고 같은 쪽을 가리키면, 어디에서 시작하든 같은 벡터예요.

벡터의 모든 레벨

예시: ⟨24, 7⟩의 크기

⟨24, 7⟩을 감싼 세로줄은 그 크기, 곧 길이를 묻는 표시예요. 화살표는 옆으로 24, 위로 7만큼 가요.
각 성분을 제곱해요. 24 × 24 = 576이고 7 × 7 = 49예요.
두 제곱을 더하면 625예요. 제곱해서 625가 되는 수를 찾으면 25예요.
화살표의 길이는 25로, 옆으로 간 24보다 조금 길어요. 그래서 25를 입력해요.

차근차근 배우기

벡터 ⟨x, y⟩는 화살표예요: x걸음 가로로, y걸음 위로. 그 크기는 그 화살표가 처음부터 끝까지 곧장 얼마나 긴지예요.

가로 걸음과 위 걸음이 직각을 이루니, 화살표는 직각삼각형의 빗변이에요 — 그래서 길이는 √(x² + y²), 피타고라스 정리죠. ⟨3, 4⟩라면: √(9 + 16) = √25 = 5. (길이가 늘 자연수로 떨어지게 골랐어요.)

각 부분을 제곱해 더하고, 제곱근을 구해, 길이를 입력해요.

팁과 흔한 실수

θ = 0°를 떠올려 보세요. 화살표가 x축 위에 누워 있으니 x는 길이 r 전체예요. cos 0° = 1이니까 x는 cos와, y는 sin과 짝이에요.
흔한 실수는 두 성분을 그냥 더하는 거예요. ⟨12, 9⟩의 길이는 21이 아니에요. 곧은 화살표는 모서리를 가로질러 가니까요. 바르게 하면 144 + 81 = 225이고, √225 = 15예요.
바닥에서 벡터 덧셈을 연습해 보세요. 타일 6칸을 걷고 직각으로 돌아 8칸을 걸으면 ⟨6, 0⟩ + ⟨0, 8⟩ = ⟨6, 8⟩이에요. 출발점까지 끈을 당기면 10칸이에요.

플레이 방법

벡터는 세 가지 모습으로 나와요. |⟨21, 20⟩|은 길이 29, r=10, θ=120°, x=? 문제는 마이너스 키로 −5, ⟨7, 2⟩ · ⟨3, 9⟩는 내적 39가 답이에요. 모두 정수이니 상대보다 먼저 키패드로 입력하면 고추의 공격이 들어가고, 빠를수록 한 방이 더 세져요.

— 빠른 답변 —

벡터: 짧은 FAQ

두 벡터의 내적은 무엇을 알려 주나요?: 내적은 두 벡터가 얼마나 같은 쪽을 향하는지를 수 하나로 알려 줘요. 두 벡터의 크기와 그 사이 각의 코사인을 곱한 값이에요. 각이 90°보다 작으면 양수, 직각이면 0, 더 크면 음수가 돼요. ⟨2, 6⟩과 ⟨3, −1⟩은 2 × 3 + 6 × (−1) = 0이니 서로 수직이에요. 게임에서는 성분이 모두 1부터 9까지라서 내적이 언제나 양수예요.
극좌표를 직교좌표로 바꾸는 방법은?: 직교좌표를 구하려면 길이 r에 cos θ를 곱해 x를, sin θ를 곱해 y를 구해요. 극좌표는 점의 위치를 거리와 각도로, 직교좌표는 옆으로 가는 양과 위로 가는 양으로 나타내요. r = 12, θ = 30°일 때 y = 12 × sin 30° = 12 × ½ = 6이에요. 게임에서는 r이 짝수이고, 사인이나 코사인이 0, ½, 1인 각도만 나와요. 음수가 될 때도 있지만 답은 항상 정수예요.
벡터의 크기를 빨리 구하는 요령이 있나요?: 가장 빠른 요령은 벡터 뒤에 숨은 피타고라스 수를 알아보는 거예요. 피타고라스 수는 앞의 두 수의 제곱의 합이 세 번째 수의 제곱과 같은 세 정수예요. 이 게임은 5, 12, 13이나 8, 15, 17 같은 다섯 쌍의 피타고라스 수나 그 배수로 모든 벡터를 만들어요. 그래서 ⟨16, 12⟩는 ⟨4, 3⟩의 4배이고, 크기는 4 × 5 = 20이에요.
x 성분이 왜 음수로 나오나요?: 각도가 90°를 넘으면 화살표가 출발점보다 왼쪽을 향하니, 음수 x가 맞는 답이에요. cos 120° = −½이므로 r = 8, θ = 120°일 때 x = 8 × (−½) = −4예요. 180°에서는 x가 길이 전체에 마이너스를 붙인 값이 돼요. 마이너스 키로 입력하세요. 여기서는 180°를 넘는 각도가 없어서 y가 음수가 되는 일은 없어요.
이 벡터 수학 게임은 무료인가요? 수업에서는 어떻게 쓰면 좋을까요?: 네, 벡터의 세 레벨은 어느 브라우저에서나 무료이고, 가입하거나 설치할 필요가 없어요. 수업 준비 운동으로, 성분이 정수이고 길이가 정확히 13인 화살표가 몇 개인지 물어보세요. 학생들은 짝을 지어 ⟨5, 12⟩나 ⟨−13, 0⟩ 같은 화살표를 찾다가 12개를 모두 찾아내요. 한 점에서 그리면 끝점들이 원 위에 놓여요. 학교 요금제는 학생 수에 따라 요금이 매겨지고, 누가 실력이 늘고 있는지 교사용 대시보드에서 보여 줘요.

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