¿Qué significa dx en una integral?

En una integral, dx indica la variable a lo largo de la cual sumas y representa una anchura diminuta de x. Así, ∫ 6x² dx se lee como una suma de franjas de 6x² de alto y dx de ancho. Haz las franjas cada vez más finas y su total se convierte en el área exacta. Sin el dx, la integral no diría en qué dirección cortar.

¿Cómo se calcula una integral definida?

Una integral definida se calcula en tres pasos. Busca una primitiva, una función cuya derivada sea la que hay dentro de la integral. Evalúala en el límite superior y réstale su valor en el límite inferior. Para 2x de 1 a 3, la primitiva es x², así que 9 − 1 = 8. En este juego el límite inferior siempre es 0, donde estas primitivas valen 0.

¿Cómo se recuerda la regla de la potencia para integrar?

Piensa en los calcetines y los zapatos: te pones primero los calcetines, pero te quitas primero los zapatos. Al derivar multiplicas por el exponente y luego le restas uno, así que al integrar deshaces esos pasos en orden inverso: el exponente sube uno y después divides entre ese nuevo exponente. Así, 12x³ pasa a 3x⁴, y al derivar 3x⁴ vuelve 12x³.

¿Cuál es el error más común en la integración por sustitución?

El error más común es olvidar el número que acompaña a la x dentro del paréntesis. En ∫(3x + 2)⁴ dx, subir el exponente da (3x + 2)⁵ entre 5, pero el paréntesis crece 3 veces más rápido que x, así que también divides entre 3. El denominador es 3 × 5 = 15, no 5. Al derivar (3x + 2)⁵ / 15 recuperas exactamente (3x + 2)⁴.

¿Cuánto cuesta llevar este juego de cálculo integral a una clase?

Nada: los tres niveles, de las potencias sueltas a la sustitución, se abren en una pestaña del navegador en los portátiles o tabletas del centro, sin cuentas para el alumnado. Para practicar integrales en la pizarra, pide a los grupos funciones cuya área de 0 a 2 sea exactamente 8. La constante 4, la recta 4x y la curva 3x² funcionan, con tres formas muy distintas. Con el plan para colegios, que se paga por alumno, un panel docente muestra quién mejora con las integrales.

Práctica de matemáticas · reinventada

Juego de integrales

En este juego sobre integrales, cada área empieza en x = 0 y termina en 2 o en 3, y el nivel de sustitución solo pide un denominador. Tu rival integra la misma curva, así que cada paso que te ahorras hace que tu luchador golpee primero.

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¿Qué es una integral?

Una integral suma una cantidad que no deja de cambiar. Si una curva está por encima del eje x, la integral definida da el área que queda debajo entre dos valores de x, llamados sus límites. Imagina la gráfica de la velocidad de un coche durante un viaje: el área bajo esa gráfica es la distancia recorrida.

Todos los niveles de Integral

Ejemplo: ∫(0→2) (3x² + 8x + 5) dx

Integra término a término: 3x² pasa a ser x³, 8x pasa a ser 4x², y el 5 suelto pasa a ser 5x.
Sustituye el límite superior, x = 2, en x³ + 4x² + 5x: da 8 + 16 + 10 = 34.
En el límite inferior, x = 0, todos los términos valen 0, así que no se resta nada y escribes 34.

Apréndelo paso a paso

Integrar es derivar al revés: suma rebanadas diminutas para hallar el ÁREA bajo una curva.

La regla de la potencia se invierte: ∫axⁿ dx = a·xⁿ⁺¹/(n+1) —sube el exponente en uno y luego divide entre el nuevo exponente—. Para ∫2x dx de 0 a 3: eso es x² evaluada en 3 → 9.

Integra, evalúa en el límite superior (aquí el inferior es 0) y escribe el área.

Consejos y errores frecuentes

Lee los símbolos como una frase: ∫ es una S alargada de «suma», y dx es una anchura finísima. Así, ∫ 6x² dx significa sumar franjas finas de altura 6x².
Un error frecuente es multiplicar por el nuevo exponente en vez de dividir. 6x² se integra como 2x³, no 18x³; deriva tu resultado y deberías recuperar 6x².
En papel cuadriculado, dibuja la recta y = x de 0 a 6 y cuenta los cuadrados que quedan debajo. El triángulo cubre 18, justo lo que predice x²/2 en 6.

Cómo se juega

En los dos primeros niveles, cada ronda muestra un área que hallar, como ∫(0→3) 8x³ dx, y tecleas el número entero que vale: 162. El nivel de sustitución muestra ∫(2x+5)³ dx y solo pide el denominador de su resultado: 8. Responde antes que tu rival y Zanahoria golpea, más fuerte cuanto antes aciertes.

— Respuestas rápidas —

Integral: el FAQ exprés

¿Qué significa dx en una integral?: En una integral, dx indica la variable a lo largo de la cual sumas y representa una anchura diminuta de x. Así, ∫ 6x² dx se lee como una suma de franjas de 6x² de alto y dx de ancho. Haz las franjas cada vez más finas y su total se convierte en el área exacta. Sin el dx, la integral no diría en qué dirección cortar.
¿Cómo se calcula una integral definida?: Una integral definida se calcula en tres pasos. Busca una primitiva, una función cuya derivada sea la que hay dentro de la integral. Evalúala en el límite superior y réstale su valor en el límite inferior. Para 2x de 1 a 3, la primitiva es x², así que 9 − 1 = 8. En este juego el límite inferior siempre es 0, donde estas primitivas valen 0.
¿Cómo se recuerda la regla de la potencia para integrar?: Piensa en los calcetines y los zapatos: te pones primero los calcetines, pero te quitas primero los zapatos. Al derivar multiplicas por el exponente y luego le restas uno, así que al integrar deshaces esos pasos en orden inverso: el exponente sube uno y después divides entre ese nuevo exponente. Así, 12x³ pasa a 3x⁴, y al derivar 3x⁴ vuelve 12x³.
¿Cuál es el error más común en la integración por sustitución?: El error más común es olvidar el número que acompaña a la x dentro del paréntesis. En ∫(3x + 2)⁴ dx, subir el exponente da (3x + 2)⁵ entre 5, pero el paréntesis crece 3 veces más rápido que x, así que también divides entre 3. El denominador es 3 × 5 = 15, no 5. Al derivar (3x + 2)⁵ / 15 recuperas exactamente (3x + 2)⁴.
¿Cuánto cuesta llevar este juego de cálculo integral a una clase?: Nada: los tres niveles, de las potencias sueltas a la sustitución, se abren en una pestaña del navegador en los portátiles o tabletas del centro, sin cuentas para el alumnado. Para practicar integrales en la pizarra, pide a los grupos funciones cuya área de 0 a 2 sea exactamente 8. La constante 4, la recta 4x y la curva 3x² funcionan, con tres formas muy distintas. Con el plan para colegios, que se paga por alumno, un panel docente muestra quién mejora con las integrales.

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