¿Qué es una serie geométrica?

Una serie geométrica suma términos que salen de multiplicar el anterior por un mismo número, llamado razón. En 3 + 6 + 12 + 24 la razón es 2 y la suma es 45. Con primer término a, razón r y n términos, la suma es a(rⁿ − 1)/(r − 1), así que aquí 3 × 15/1 = 45. El nivel geométrico de este juego usa el caso más sencillo: 1 + 2 + 4 + ⋯, con razón 2.

¿Cómo se calcula la suma de una progresión aritmética?

La suma de una progresión aritmética se calcula con tres datos: el primer término, el último y cuántos términos hay. Si falta el último, constrúyelo con la diferencia d, el salto fijo entre términos: aₙ = a₁ + (n − 1)d. En 4 + 7 + 10 + ⋯ con 10 términos, el último es 4 + 9 × 3 = 31, así que la suma es la mitad de 10 × 35: 175.

¿Cómo se recuerda la serie de eˣ?

Recuérdala como parejas a juego: cada potencia de x va sobre el factorial del mismo número. Así, eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ⋯, donde n!, que se lee «n factorial», es 1 × 2 × ⋯ × n. Por eso el término en x⁵ va sobre 5! = 120. Si pones x = 1, los términos suman el propio número e, unos 2,72.

¿Por qué se cuentan mal los términos de una progresión?

Muchos alumnos dividen la distancia entre el salto y olvidan contar el primer término. De 5 a 50 de 3 en 3 hay 15 saltos, porque 50 − 5 = 45 contiene 15 veces el 3, pero hay 16 términos. Piensa en los postes de una valla: 15 huecos necesitan 16 postes. Así, 5 + 8 + 11 + ⋯ + 50 tiene 16 términos y suma 440, no 412,5.

¿Cómo empezar una clase de progresiones con este juego, y es gratis?

Puedes empezar con una carrera en la pizarra, y el juego no cuesta nada: cada nivel se abre en el navegador, sin registro ni descargas. Para practicar sumas de progresiones aritméticas, escribe 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ y que la clase diga en voz alta cada suma parcial: 1; 4; 9; 16; 25. Cuando vean los cuadrados, pide la suma de los 30 primeros impares: 900. Con el plan para colegios, con precio por alumno, un panel muestra quién avanza con las sumas.

Práctica de matemáticas · reinventada

Juego de sumas de progresiones

Este desafío de sumar progresiones te hace sumar hasta 40 términos de una progresión aritmética de golpe y llega a la serie de e^x, donde x⁷ va dividido entre 5040. Sumar término a término es demasiado lento aquí: el primer total correcto lanza a tu luchador al ataque.

De 4 a 99+ años · sin descargas · juega en tu navegador · 23 idiomas

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¿Qué es una serie en matemáticas?

Una serie es la suma de una sucesión: los números de una lista ordenada, llamados términos, sumados en un solo total. La sucesión 3; 5; 7; 9 tiene cuatro términos, pero la serie 3 + 5 + 7 + 9 es un único número, 24. Hay series cortas, largas e incluso infinitas, y a menudo una fórmula da el total sin sumar cada término.

Todos los niveles de Series

Ejemplo: 1 + 2 + 4 + ⋯ con 5 términos

Cada término duplica al anterior, así que los cinco términos son 1, 2, 4, 8 y 16.
Súmalos de uno en uno: 1 + 2 = 3, luego 3 + 4 = 7, 7 + 8 = 15 y 15 + 16 = 31.
Comprueba con el atajo de este patrón: 2⁵ = 32, y la suma es uno menos, 31.
La suma es 31, así que escribes 31 en el teclado.

Apréndelo paso a paso

A series is what you get when you add a sequence up. Adding evenly-spaced numbers one at a time is slow, and there is a much better way.

The story goes that a schoolboy named Gauss was told to add 1 to 100 and answered almost at once. He had noticed that the numbers pair up from the outside in: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101. Fifty pairs, each worth 101, giving 5050.

The general rule is the same idea: S = n × (a₁ + aₙ) : 2. Read it as "how many terms, times the average of the first and the last", because in an evenly-spaced list the average really is just the midpoint of the two ends. This is an ARITHMETIC series — every term is the last one plus the same step — and here that step is often a fraction, which does not matter: the rule only needs the first term, the last term and how many there are.

Add the first and last term, multiply by the number of terms, halve it, and type the sum.

Consejos y errores frecuentes

Para sumar 1 + 2 + ⋯ + n, multiplica n por el número siguiente y toma la mitad: en 1 + 2 + ⋯ + 12, 12 × 13 = 156, y la mitad es 78.
Un error frecuente es buscar la diferencia entre términos. Con a₁ = 15, aₙ = 44 y n = 6 esa diferencia es 5,8, pero la suma es solo la mitad de 6 × 59: 177.
Lejos de la pantalla, reta a alguien a una carrera: uno suma 2 + 4 + 6 + ⋯ + 20 término a término y el otro calcula la mitad de 10 × 22. Los dos deben llegar a 110.

Cómo se juega

En el primer nivel, cada ronda muestra una suma por completar, como «Suma: a₁=13, aₙ=37, n=12», que da el primer término, el último y cuántos hay, así que escribes 300. Otro nivel funciona como un juego de series geométricas en miniatura: «1+2+4+⋯, 7 términos, suma=?» pide 127. Gana a tu rival con el total y Tomate ataca; un total rápido se convierte en un golpe fuerte.

— Respuestas rápidas —

Series: el FAQ exprés

¿Qué es una serie geométrica?: Una serie geométrica suma términos que salen de multiplicar el anterior por un mismo número, llamado razón. En 3 + 6 + 12 + 24 la razón es 2 y la suma es 45. Con primer término a, razón r y n términos, la suma es a(rⁿ − 1)/(r − 1), así que aquí 3 × 15/1 = 45. El nivel geométrico de este juego usa el caso más sencillo: 1 + 2 + 4 + ⋯, con razón 2.
¿Cómo se calcula la suma de una progresión aritmética?: La suma de una progresión aritmética se calcula con tres datos: el primer término, el último y cuántos términos hay. Si falta el último, constrúyelo con la diferencia d, el salto fijo entre términos: aₙ = a₁ + (n − 1)d. En 4 + 7 + 10 + ⋯ con 10 términos, el último es 4 + 9 × 3 = 31, así que la suma es la mitad de 10 × 35: 175.
¿Cómo se recuerda la serie de eˣ?: Recuérdala como parejas a juego: cada potencia de x va sobre el factorial del mismo número. Así, e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ⋯, donde n!, que se lee «n factorial», es 1 × 2 × ⋯ × n. Por eso el término en x⁵ va sobre 5! = 120. Si pones x = 1, los términos suman el propio número e, unos 2,72.
¿Por qué se cuentan mal los términos de una progresión?: Muchos alumnos dividen la distancia entre el salto y olvidan contar el primer término. De 5 a 50 de 3 en 3 hay 15 saltos, porque 50 − 5 = 45 contiene 15 veces el 3, pero hay 16 términos. Piensa en los postes de una valla: 15 huecos necesitan 16 postes. Así, 5 + 8 + 11 + ⋯ + 50 tiene 16 términos y suma 440, no 412,5.
¿Cómo empezar una clase de progresiones con este juego, y es gratis?: Puedes empezar con una carrera en la pizarra, y el juego no cuesta nada: cada nivel se abre en el navegador, sin registro ni descargas. Para practicar sumas de progresiones aritméticas, escribe 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ y que la clase diga en voz alta cada suma parcial: 1; 4; 9; 16; 25. Cuando vean los cuadrados, pide la suma de los 30 primeros impares: 900. Con el plan para colegios, con precio por alumno, un panel muestra quién avanza con las sumas.

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