Juego de combinatoria

¿Qué son las permutaciones y las combinaciones?

Las permutaciones y las combinaciones son dos formas de contar elecciones sin escribirlas todas. Una combinación es un grupo en el que el orden no importa: manzana y pera forman la misma pareja que pera y manzana. Una permutación de k elementos tomados de n, que en clase también se llama variación, es una fila ordenada: comer primero la manzana y luego la pera no es lo mismo que al revés.

Ejemplo: ¿cuántas parejas puedes formar con 6?

1. El símbolo ₆C₂ pregunta cuántas parejas distintas puedes elegir entre 6 cosas cuando el orden no importa.
2. Si eliges en orden, tienes 6 opciones para la primera y 5 para la segunda: 6 × 5 = 30 elecciones ordenadas.
3. Cada pareja se ha contado dos veces, como A y luego B y como B y luego A, así que tomas la mitad de 30 y escribes 15.

Consejos y errores frecuentes

• En ₆P₃, el 3 pequeño te dice cuántos números multiplicar, contando hacia atrás desde 6: 6 × 5 × 4 = 120. Para ahí, no sigas hasta 1.
• Un error frecuente es contar los dos órdenes en una combinación. En ₄C₂, si apuntas AB y BA por separado salen 12; tacha las repeticiones y quedan 6 parejas.
• En una comida familiar, pregunta cuántos apretones de manos hay si cada persona saluda una vez a todas las demás. Siete personas dan 21, es decir ₇C₂, y cada invitado nuevo suma más.

— Respuestas rápidas —

Combinatoria: el FAQ exprés

¿Qué diferencia hay entre una permutación y una combinación?

La diferencia está en si intercambiar dos elementos elegidos da un resultado nuevo. En una permutación sí, como en el código de una puerta, donde 1-2-3 y 3-2-1 son códigos distintos. En una combinación no, como en una mano de cartas. Con 4 letras, ₄P₃ = 24 pero ₄C₃ = 4, porque cada grupo de 3 letras se puede ordenar de 6 maneras.

¿Cómo se calculan las combinaciones sin calculadora?

Cuenta las elecciones ordenadas y divide entre las formas de ordenar cada grupo. Para ₇C₃ hay 7 × 6 × 5 = 210 elecciones ordenadas de tres. Cada grupo de tres se ordena de 3 × 2 × 1 = 6 maneras, así que ₇C₃ = 210 : 6 = 35. Es más rápido simplificar antes: el 6 de arriba se va con el 6 de abajo y queda 7 × 5 = 35.

¿Hay un atajo para calcular combinaciones?

Sí: el triángulo de Pascal, también llamado de Tartaglia, contiene todas las combinaciones. Empieza con un 1 arriba y escribe cada número nuevo como la suma de los dos que tiene encima. La fila 6, si la de arriba es la fila 0, dice 1, 6, 15, 20, 15, 6 y 1, así que ₆C₃ = 20. La fila es simétrica, por eso ₆C₄ = ₆C₂ = 15: elegir 4 para quedártelos es lo mismo que elegir 2 para dejarlos fuera.

¿Por qué los alumnos confunden permutaciones y combinaciones?

Los alumnos las confunden porque las dos preguntas suelen sonar parecidas y el enunciado no siempre dice si el orden cuenta. Un caso pequeño lo aclara. Con A, B y C, las parejas son AB, AC y BC, así que ₃C₂ = 3. Las elecciones ordenadas son esas tres más BA, CA y CB, así que ₃P₂ = 6. Ver las dos listas juntas fija la diferencia.

¿Hay alguna forma gratuita de llevar la combinatoria a clase?

La hay: los tres niveles, también la mezcla olímpica, se abren gratis en cualquier navegador, sin cuentas para el alumnado ni instalaciones. Para practicar el recuento en la pizarra, saca a 5 voluntarios y pregunta cuántos comités de 3 podrían formar. Luego pregunta de cuántas maneras podrían repartirse presidencia, secretaría y tesorería. Las respuestas, 10 y 60, muestran que cada comité se ordena de 6 maneras. Con el plan para colegios, con precio por alumno, un panel docente sigue el progreso de cada alumno.