Hva forteller skalarproduktet av to vektorer?

Skalarproduktet forteller i ett tall hvor mye to vektorer peker samme vei: Det er de to lengdene ganget med hverandre og med cosinus til vinkelen mellom dem. Under 90° er det positivt, ved rett vinkel 0 og over det negativt. For ⟨2; 6⟩ og ⟨3; −1⟩ blir det 2 × 3 + 6 × (−1) = 0, så de står vinkelrett på hverandre. I spillet går hver koordinat fra 1 til 9, så skalarproduktet er alltid positivt.

Hvordan gjør man om polarkoordinater til kartesiske koordinater?

For å få kartesiske koordinater ganger du lengden r med cos θ for x og med sin θ for y. Polarkoordinater angir et punkt med en avstand og en vinkel, kartesiske med et steg bortover og et steg opp. Med r = 12 og θ = 30° blir y = 12 × sin 30° = 12 × ½ = 6. Spillet bruker partall for r og vinkler der sinus eller cosinus er 0, ½ eller 1, noen ganger negativ, så svaret blir et helt tall.

Finnes det et triks for å finne lengden av en vektor raskt?

Det raskeste trikset er å kjenne igjen det pytagoreiske tripelet bak vektoren: tre hele tall der kvadratene av de to første til sammen gir kvadratet av det tredje. Spillet lager alle vektorene av bare fem slike tripler, for eksempel 5, 12 og 13 eller 8, 15 og 17, eller av et multiplum av dem. Derfor er ⟨16; 12⟩ fire ganger ⟨4; 3⟩, og lengden er 4 × 5 = 20.

Hvorfor er x-koordinaten min negativ?

En negativ x er riktig svar når vinkelen er over 90°, for da peker pilen til venstre for startpunktet. Siden cos 120° = −½, gir r = 8 og θ = 120° x = 8 × (−½) = −4, og ved 180° er x minus hele lengden. Skriv det med minustasten. Her blir y aldri negativ, fordi ingen vinkel går forbi 180°.

Er dette mattespillet om vektorer gratis, og hvordan bruker man det i klassen?

Ja, alle tre vektornivåene er gratis i hvilken som helst nettleser, og ingen trenger å registrere seg eller installere noe. Spør som oppvarming hvor mange piler med hele koordinater som er nøyaktig 13 lange. Elevene leter i par, for eksempel ⟨5; 12⟩ og ⟨−13; 0⟩, til alle 12 er funnet; tegnet fra samme punkt ligger spissene på en sirkel. Med skoleabonnementet betaler læreren per elev og ser på et dashbord hvem som blir bedre.

Mattetrening · gjenoppfunnet

Spill med vektorer

I dette mattespillet om vektorer kommer pilene som tallpar som ⟨24; 7⟩ eller som en lengde og en vinkel, og hvert svar er et helt tall fra −24 til 162. Bli ferdig først, så slår kjemperen din til mens motstanderen fortsatt kvadrerer og legger sammen.

Alder 4–99+ · ingen nedlasting · spilles i nettleseren · 23 språk

Velg nivået ditt ▸

Hva er en vektor?

En vektor er en størrelse med både lengde og retning, tegnet som en pil. En vind på 20 km/t er bare en fart til du sier at den blåser mot nord; da er den en vektor. To piler er samme vektor når de er like lange og peker samme vei, uansett hvor de starter.

Alle nivåer i Vektorer

Eksempel: lengden av ⟨24; 7⟩

Strekene rundt ⟨24; 7⟩ spør etter lengden: Pilen går 24 bortover og 7 opp.
Gang hver koordinat med seg selv: 24 × 24 = 576 og 7 × 7 = 49.
Legg sammen de to kvadratene til 625, og finn tallet som ganget med seg selv gir 625: Det er 25.
Pilen er 25 lang, litt mer enn de 24 bortover, så du skriver 25.

Lær det steg for steg

En vektor ⟨x, y⟩ er en pil: gå x steg bortover og y steg opp. Lengden er rett og slett hvor LANG den pilen er, målt rett fra start til spiss.

Siden bortoversteget og oppoversteget danner en rett vinkel, er pilen hypotenusen i en rettvinklet trekant — så lengden er √(x² + y²), Pytagoras' setning. For ⟨3; 4⟩: √(9 + 16) = √25 = 5. (Disse er valgt så lengden alltid kommer ut som et helt tall.)

Kvadrer hver del, legg sammen, ta kvadratroten, og tast inn lengden.

Tips og vanlige feil

Tenk deg θ = 0°: Pilen ligger flatt på x-aksen, så x er hele lengden r. Siden cos 0° = 1, hører x sammen med cos og y med sin.
En vanlig feil er å legge sammen de to koordinatene: ⟨12; 9⟩ er ikke 21 lang, for den rette pilen skjærer hjørnet. Regn heller 144 + 81 = 225, og √225 = 15.
Øv på vektoraddisjon på gulvet: Gå 6 fliser, sving i rett vinkel, gå 8, altså ⟨6; 0⟩ + ⟨0; 8⟩ = ⟨6; 8⟩. En hyssing tilbake til start måler 10 fliser.

Slik spiller du

Vektorene dukker opp i tre former: |⟨21; 20⟩| spør etter en lengde, 29; r=10, θ=120°, x=? vil ha −5 med minustasten; ⟨7; 2⟩ · ⟨3; 9⟩ vil ha et skalarprodukt, 39. Skriv hvert hele tall på tastaturet før motstanderen, og Chili slår hardere jo tidligere svaret ditt kommer.

— Kjappe svar —

Vektorer: den korte FAQ-en

Hva forteller skalarproduktet av to vektorer?: Skalarproduktet forteller i ett tall hvor mye to vektorer peker samme vei: Det er de to lengdene ganget med hverandre og med cosinus til vinkelen mellom dem. Under 90° er det positivt, ved rett vinkel 0 og over det negativt. For ⟨2; 6⟩ og ⟨3; −1⟩ blir det 2 × 3 + 6 × (−1) = 0, så de står vinkelrett på hverandre. I spillet går hver koordinat fra 1 til 9, så skalarproduktet er alltid positivt.
Hvordan gjør man om polarkoordinater til kartesiske koordinater?: For å få kartesiske koordinater ganger du lengden r med cos θ for x og med sin θ for y. Polarkoordinater angir et punkt med en avstand og en vinkel, kartesiske med et steg bortover og et steg opp. Med r = 12 og θ = 30° blir y = 12 × sin 30° = 12 × ½ = 6. Spillet bruker partall for r og vinkler der sinus eller cosinus er 0, ½ eller 1, noen ganger negativ, så svaret blir et helt tall.
Finnes det et triks for å finne lengden av en vektor raskt?: Det raskeste trikset er å kjenne igjen det pytagoreiske tripelet bak vektoren: tre hele tall der kvadratene av de to første til sammen gir kvadratet av det tredje. Spillet lager alle vektorene av bare fem slike tripler, for eksempel 5, 12 og 13 eller 8, 15 og 17, eller av et multiplum av dem. Derfor er ⟨16; 12⟩ fire ganger ⟨4; 3⟩, og lengden er 4 × 5 = 20.
Hvorfor er x-koordinaten min negativ?: En negativ x er riktig svar når vinkelen er over 90°, for da peker pilen til venstre for startpunktet. Siden cos 120° = −½, gir r = 8 og θ = 120° x = 8 × (−½) = −4, og ved 180° er x minus hele lengden. Skriv det med minustasten. Her blir y aldri negativ, fordi ingen vinkel går forbi 180°.
Er dette mattespillet om vektorer gratis, og hvordan bruker man det i klassen?: Ja, alle tre vektornivåene er gratis i hvilken som helst nettleser, og ingen trenger å registrere seg eller installere noe. Spør som oppvarming hvor mange piler med hele koordinater som er nøyaktig 13 lange. Elevene leter i par, for eksempel ⟨5; 12⟩ og ⟨−13; 0⟩, til alle 12 er funnet; tegnet fra samme punkt ligger spissene på en sirkel. Med skoleabonnementet betaler læreren per elev og ser på et dashbord hvem som blir bedre.

Mer matte å mestre

Klar for å gi alt?

Spill gratis ▸