Mattetrening · gjenoppfunnet
Spill med rekker og summer
I denne utfordringen med rekker og summer legger du sammen opptil 40 ledd i en aritmetisk rekke på én gang, og øverst venter rekken for ex, der x7 står over 5040. Å legge sammen ledd for ledd går for sakte her: Den første riktige summen sender kjemperen din til angrep.
Alder 4–99+ · ingen nedlasting · spilles i nettleseren · 23 språk
Hva er en rekke i matematikk?
En rekke er summen av en tallfølge: tallene i en ordnet liste, kalt ledd, lagt sammen til én sum. Følgen 3; 5; 7; 9 har fire ledd, men rekken 3 + 5 + 7 + 9 er ett enkelt tall, 24. Rekker kan være korte, lange eller til og med uendelige, og ofte gir en formel summen uten at du legger sammen hvert ledd.
Eksempel: 1 + 2 + 4 + ⋯ med 5 ledd
- Hvert ledd er det dobbelte av det forrige, så de fem leddene er 1, 2, 4, 8 og 16.
- Legg dem sammen ett om gangen: 1 + 2 = 3, så 3 + 4 = 7, 7 + 8 = 15 og 15 + 16 = 31.
- Sjekk med snarveien for dette mønsteret: 25 = 32, og summen er én mindre, 31.
- Summen er 31, så du skriver 31 på tastaturet.
Lær det steg for steg
A series is what you get when you add a sequence up. Adding evenly-spaced numbers one at a time is slow, and there is a much better way.
The story goes that a schoolboy named Gauss was told to add 1 to 100 and answered almost at once. He had noticed that the numbers pair up from the outside in: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101. Fifty pairs, each worth 101, giving 5050.
The general rule is the same idea: S = n × (a₁ + aₙ) : 2. Read it as "how many terms, times the average of the first and the last", because in an evenly-spaced list the average really is just the midpoint of the two ends. This is an ARITHMETIC series — every term is the last one plus the same step — and here that step is often a fraction, which does not matter: the rule only needs the first term, the last term and how many there are.
Add the first and last term, multiply by the number of terms, halve it, and type the sum.
Tips og vanlige feil
- For å summere 1 + 2 + ⋯ + n ganger du n med neste tall og halverer: For 1 + 2 + ⋯ + 12 er 12 × 13 = 156, og halvparten er 78.
- En vanlig feil er å lete etter differansen mellom leddene. Med a₁ = 15, aₙ = 44 og n = 6 er den 5,8, men summen er bare halvparten av 6 × 59: 177.
- Utfordre noen til et kappløp uten skjerm: Én legger sammen 2 + 4 + 6 + ⋯ + 20 ledd for ledd, den andre halverer 10 × 22. Begge skal komme til 110.
Slik spiller du
På første nivå viser hver runde en sum som skal fullføres, som «Sum: a₁=13, aₙ=37, n=12» med første ledd, siste ledd og antall, så du skriver 300. Et annet nivå er et spill med geometriske rekker i det små: «1+2+4+⋯, 7 ledd, sum=?» vil ha 127. Har du summen før rivalen, slår Tomat til, og en rask sum blir et hardt slag.
— Kjappe svar —
Series: den korte FAQ-en
- Hva er en geometrisk rekke?
- En geometrisk rekke legger sammen ledd der hvert ledd er det forrige ganget med samme tall, kvotienten k. I 3 + 6 + 12 + 24 er kvotienten 2 og summen 45. Med første ledd a, kvotient k og n ledd er summen a(kn − 1)/(k − 1), her altså 3 × 15/1 = 45. Spillets geometriske nivå bruker det enkleste tilfellet: 1 + 2 + 4 + ⋯, med kvotient 2.
- Hvordan finner man summen av en aritmetisk rekke?
- Summen av en aritmetisk rekke finner du fra tre opplysninger: første ledd, siste ledd og antall ledd. Mangler det siste, bygger du det fra differansen d, det faste spranget mellom leddene: aₙ = a₁ + (n − 1)d. For 4 + 7 + 10 + ⋯ med 10 ledd er det siste 4 + 9 × 3 = 31, så summen er halvparten av 10 × 35: 175.
- Hvordan husker man rekken for eˣ?
- Husk den som par som hører sammen: Hver potens av x står over fakultetet av samme tall. Altså er ex = 1 + x + x2/2! + x3/3! + ⋯, der n!, uttalt «n fakultet», er 1 × 2 × ⋯ × n. Leddet med x5 står derfor over 5! = 120. Setter du x = 1, gir leddene selve tallet e, omtrent 2,72.
- Hvorfor teller man feil når man skal finne antall ledd?
- Mange elever deler avstanden på steglengden og glemmer å telle med det første leddet. Fra 5 til 50 i steg på 3 er det 15 sprang, fordi 50 − 5 = 45 rommer 15 treere, men det er 16 ledd. Tenk på stolpene i et gjerde: 15 mellomrom trenger 16 stolper. Derfor har 5 + 8 + 11 + ⋯ + 50 16 ledd og summen 440, ikke 412,5.
- Hvordan kan en lærer starte en time om rekker med spillet, og er det gratis?
- Du kan starte med et kappløp ved tavla, og spillet koster ingenting: Hvert nivå åpnes i nettleseren uten innlogging eller nedlasting. Som øving i aritmetiske rekker skriver du 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ og lar klassen rope ut hver delsum: 1; 4; 9; 16; 25. Når elevene ser kvadrattallene, spør du etter summen av de 30 første oddetallene: 900. Med skoleabonnementet, priset per elev, viser et dashbord hvem som blir bedre på summer.