Jeu de vecteurs

Qu’est-ce qu’un vecteur ?

Un vecteur est une grandeur qui a une longueur, une direction et un sens, et on le dessine comme une flèche. Un vent de 20 km/h n’est qu’une vitesse tant que tu ne dis pas qu’il souffle vers le nord ; alors, c’est un vecteur. Deux flèches représentent le même vecteur si elles ont la même longueur, la même direction et le même sens, où qu’elles commencent.

Exemple : la norme de ⟨24; 7⟩

1. Les barres autour de ⟨24; 7⟩ demandent sa norme, c’est-à-dire sa longueur : la flèche avance de 24 à l’horizontale et monte de 7.
2. Multiplie chaque coordonnée par elle-même : 24 × 24 = 576 et 7 × 7 = 49.
3. Additionne les deux carrés pour obtenir 625, puis cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 625 : c’est 25.
4. La flèche mesure 25, à peine plus que ses 24 à l’horizontale, donc tu tapes 25.

Astuces et erreurs fréquentes

• Imagine θ = 0° : la flèche est couchée sur l’axe des x, donc x vaut toute la longueur r. Comme cos 0° = 1, x va avec le cosinus, et y avec le sinus.
• Une erreur courante consiste à additionner les deux coordonnées : ⟨12; 9⟩ ne mesure pas 21, car la flèche droite coupe en diagonale. En fait, 144 + 81 = 225, et √225 = 15.
• Pour t’entraîner à additionner des vecteurs, marche 6 carreaux, tourne à angle droit, marche 8 : ⟨6; 0⟩ + ⟨0; 8⟩ = ⟨6; 8⟩. Une ficelle tendue jusqu’au départ mesure 10 carreaux.

— Réponses express —

Vecteurs : la FAQ éclair

Que mesure le produit scalaire de deux vecteurs ?

Le produit scalaire mesure en un seul nombre à quel point deux vecteurs sont alignés : c’est le produit de leurs deux normes par le cosinus de l’angle qu’ils forment. Il est positif sous 90°, nul pour un angle droit et négatif au-delà. Pour ⟨2; 6⟩ et ⟨3; −1⟩, il vaut 2 × 3 + 6 × (−1) = 0, donc ils sont orthogonaux. Dans le jeu, chaque coordonnée va de 1 à 9, si bien que le produit est toujours positif.

Comment passer des coordonnées polaires aux coordonnées cartésiennes ?

Pour obtenir les coordonnées cartésiennes, multiplie la longueur r par cos θ pour x et par sin θ pour y. Les coordonnées polaires repèrent un point par une distance et un angle ; les cartésiennes, par un déplacement horizontal et un déplacement vertical. Avec r = 12 et θ = 30°, y = 12 × sin 30° = 12 × ½ = 6. Le jeu prend r pair et des angles dont le sinus ou le cosinus vaut 0, ½ ou 1, parfois négatif, pour que le résultat soit entier.

Existe-t-il une astuce pour calculer vite la norme d’un vecteur ?

L’astuce la plus rapide consiste à repérer le triplet pythagoricien caché derrière le vecteur : trois nombres entiers où la somme des carrés des deux premiers donne le carré du troisième. Le jeu construit tous ses vecteurs à partir de cinq triplets seulement, comme 5, 12 et 13 ou 8, 15 et 17, ou d’un multiple de l’un d’eux. Ainsi, ⟨16; 12⟩ vaut quatre fois ⟨4; 3⟩, et sa norme est 4 × 5 = 20.

Pourquoi ma coordonnée x est-elle négative ?

Un x négatif est la bonne réponse dès que l’angle dépasse 90°, car la flèche pointe alors vers la gauche de son point de départ. Comme cos 120° = −½, r = 8 et θ = 120° donnent x = 8 × (−½) = −4, et à 180°, x vaut l’opposé de la longueur entière. Tape-le avec la touche moins. Ici, y n’est jamais négatif, car aucun angle ne dépasse 180°.

Ce jeu de maths sur les vecteurs est-il gratuit, et comment l’utiliser en classe ?

Oui, les trois niveaux sur les vecteurs sont gratuits dans n’importe quel navigateur, sans inscription ni installation. Pour lancer le cours, demande combien de flèches à coordonnées entières mesurent exactement 13. Par deux, les élèves les cherchent, comme ⟨5; 12⟩ ou ⟨−13; 0⟩, jusqu’à trouver les 12 ; tracées depuis un même point, leurs pointes dessinent un cercle. Avec l’offre pour les écoles, l’enseignant paie par élève et voit sur un tableau de bord qui progresse.