Qu’est-ce qu’une série géométrique ?

Une série géométrique additionne des termes obtenus en multipliant chaque fois le précédent par un même nombre, appelé raison. Dans 3 + 6 + 12 + 24, la raison vaut 2 et la somme 45. Avec un premier terme a, une raison q et n termes, la somme vaut a(qⁿ − 1)/(q − 1), donc ici 3 × 15/1 = 45. Le niveau géométrique de ce jeu utilise le cas le plus simple : 1 + 2 + 4 + ⋯, de raison 2.

Comment calculer la somme d’une suite arithmétique ?

La somme des termes d’une suite arithmétique se calcule avec trois données : le premier terme, le dernier et le nombre de termes. S’il manque le dernier, construis-le avec la raison r, l’écart fixe entre deux termes : aₙ = a₁ + (n − 1)r. Pour 4 + 7 + 10 + ⋯ avec 10 termes, le dernier vaut 4 + 9 × 3 = 31, donc la somme est la moitié de 10 × 35 : 175.

Comment retenir la série de eˣ ?

Retiens-la comme des paires assorties : chaque puissance de x est divisée par la factorielle du même nombre. Ainsi, eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ⋯, où n!, qui se lit « factorielle n », vaut 1 × 2 × ⋯ × n. Le terme en x⁵ est donc divisé par 5! = 120. Avec x = 1, les termes donnent le nombre e lui-même, environ 2,72.

Pourquoi se trompe-t-on sur le nombre de termes d’une suite ?

Beaucoup d’élèves divisent l’écart par le pas et oublient de compter le premier terme. De 5 à 50 de 3 en 3, il y a 15 sauts, car 50 − 5 = 45 contient 15 fois 3, mais il y a 16 termes. Pense aux piquets d’une clôture : 15 intervalles demandent 16 piquets. Ainsi, 5 + 8 + 11 + ⋯ + 50 compte 16 termes et vaut 440, pas 412,5.

Comment lancer un cours sur les séries avec ce jeu, et est-il gratuit ?

Tu peux lancer le cours par une course au tableau, et le jeu ne coûte rien : chaque niveau s’ouvre dans le navigateur, sans inscription ni téléchargement. Pour travailler les sommes de suites arithmétiques, écris 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ et fais annoncer à la classe chaque somme partielle : 1 ; 4 ; 9 ; 16 ; 25. Quand les élèves repèrent les carrés, demande la somme des 30 premiers impairs : 900. Avec l’offre pour les écoles, facturée par élève, un tableau de bord montre qui progresse sur les sommes.

L'entraînement aux maths · réinventé

Jeu de sommes de suites

Ce défi de sommes et de séries te fait additionner jusqu’à 40 termes d’une suite arithmétique d’un seul coup, puis monte jusqu’à la série de e^x, où x⁷ est divisé par 5040. Additionner terme par terme est trop lent ici : le premier bon total envoie ton combattant à l’attaque.

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Qu’est-ce qu’une série en mathématiques ?

Une série est la somme d’une suite : les nombres d’une liste ordonnée, appelés termes, additionnés en un seul total. La suite 3 ; 5 ; 7 ; 9 a quatre termes, mais la série 3 + 5 + 7 + 9 est un seul nombre, 24. Il existe des séries courtes, longues ou même infinies, et une formule donne souvent le total sans additionner chaque terme.

Tous les niveaux de Series

Exemple : 1 + 2 + 4 + ⋯ avec 5 termes

Chaque terme double le précédent, donc les cinq termes sont 1, 2, 4, 8 et 16.
Additionne-les un par un : 1 + 2 = 3, puis 3 + 4 = 7, 7 + 8 = 15 et 15 + 16 = 31.
Vérifie avec le raccourci de ce motif : 2⁵ = 32, et la somme vaut un de moins, 31.
La somme vaut 31, donc tu tapes 31 sur le pavé.

Apprends-le pas à pas

A series is what you get when you add a sequence up. Adding evenly-spaced numbers one at a time is slow, and there is a much better way.

The story goes that a schoolboy named Gauss was told to add 1 to 100 and answered almost at once. He had noticed that the numbers pair up from the outside in: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101. Fifty pairs, each worth 101, giving 5050.

The general rule is the same idea: S = n × (a₁ + aₙ) ÷ 2. Read it as "how many terms, times the average of the first and the last", because in an evenly-spaced list the average really is just the midpoint of the two ends. This is an ARITHMETIC series — every term is the last one plus the same step — and here that step is often a fraction, which does not matter: the rule only needs the first term, the last term and how many there are.

Add the first and last term, multiply by the number of terms, halve it, and type the sum.

Astuces et erreurs fréquentes

Pour additionner 1 + 2 + ⋯ + n, multiplie n par le nombre suivant et prends la moitié : pour 1 + 2 + ⋯ + 12, 12 × 13 = 156, et la moitié fait 78.
Une erreur fréquente est de chercher la raison de la suite. Avec a₁ = 15, aₙ = 44 et n = 6, elle vaut 5,8, mais la somme est juste la moitié de 6 × 59 : 177.
Loin de l’écran, défie quelqu’un à la course : l’un additionne 2 + 4 + 6 + ⋯ + 20 terme par terme, l’autre prend la moitié de 10 × 22. Les deux doivent trouver 110.

Comment jouer

Au premier niveau, chaque manche affiche une somme à finir, comme « Somme: a₁=13, aₙ=37, n=12 », qui donne le premier terme, le dernier et leur nombre : tu tapes 300. Un autre niveau joue comme un jeu de séries géométriques en miniature : « 1+2+4+⋯, 7 termes, somme=? » attend 127. Bats ton rival sur le total et Tomate frappe ; un total rapide devient un coup lourd.

— Réponses express —

Series : la FAQ éclair

Qu’est-ce qu’une série géométrique ?: Une série géométrique additionne des termes obtenus en multipliant chaque fois le précédent par un même nombre, appelé raison. Dans 3 + 6 + 12 + 24, la raison vaut 2 et la somme 45. Avec un premier terme a, une raison q et n termes, la somme vaut a(qⁿ − 1)/(q − 1), donc ici 3 × 15/1 = 45. Le niveau géométrique de ce jeu utilise le cas le plus simple : 1 + 2 + 4 + ⋯, de raison 2.
Comment calculer la somme d’une suite arithmétique ?: La somme des termes d’une suite arithmétique se calcule avec trois données : le premier terme, le dernier et le nombre de termes. S’il manque le dernier, construis-le avec la raison r, l’écart fixe entre deux termes : aₙ = a₁ + (n − 1)r. Pour 4 + 7 + 10 + ⋯ avec 10 termes, le dernier vaut 4 + 9 × 3 = 31, donc la somme est la moitié de 10 × 35 : 175.
Comment retenir la série de eˣ ?: Retiens-la comme des paires assorties : chaque puissance de x est divisée par la factorielle du même nombre. Ainsi, e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ⋯, où n!, qui se lit « factorielle n », vaut 1 × 2 × ⋯ × n. Le terme en x⁵ est donc divisé par 5! = 120. Avec x = 1, les termes donnent le nombre e lui-même, environ 2,72.
Pourquoi se trompe-t-on sur le nombre de termes d’une suite ?: Beaucoup d’élèves divisent l’écart par le pas et oublient de compter le premier terme. De 5 à 50 de 3 en 3, il y a 15 sauts, car 50 − 5 = 45 contient 15 fois 3, mais il y a 16 termes. Pense aux piquets d’une clôture : 15 intervalles demandent 16 piquets. Ainsi, 5 + 8 + 11 + ⋯ + 50 compte 16 termes et vaut 440, pas 412,5.
Comment lancer un cours sur les séries avec ce jeu, et est-il gratuit ?: Tu peux lancer le cours par une course au tableau, et le jeu ne coûte rien : chaque niveau s’ouvre dans le navigateur, sans inscription ni téléchargement. Pour travailler les sommes de suites arithmétiques, écris 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ et fais annoncer à la classe chaque somme partielle : 1 ; 4 ; 9 ; 16 ; 25. Quand les élèves repèrent les carrés, demande la somme des 30 premiers impairs : 900. Avec l’offre pour les écoles, facturée par élève, un tableau de bord montre qui progresse sur les sommes.

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