Vad betyder dx i en integral?

I en integral anger dx variabeln du summerar längs, och det står för en pytteliten bredd i x. Så ∫ 6x² dx läses som en summa av remsor, var och en 6x² hög och dx bred. Gör remsorna smalare och smalare, så blir deras summa den exakta arean. Utan dx skulle integralen inte säga åt vilket håll du ska skära.

Hur beräknar man en bestämd integral?

En bestämd integral beräknas i tre steg. Hitta en primitiv funktion, alltså en funktion vars derivata är funktionen i integralen. Sätt in den övre gränsen och dra av värdet vid den undre gränsen. För 2x från 1 till 3 är x² en primitiv funktion, så 9 − 1 = 8. I det här spelet är den undre gränsen alltid 0, där de här primitiva funktionerna är 0.

Hur kommer man ihåg potensregeln vid integrering?

Tänk på strumpor och skor: du tar på strumporna först, men av skorna först. Derivering multiplicerar med exponenten och sänker den sedan med ett, så integrering gör om stegen i omvänd ordning: exponenten ökar med ett, och sedan delar du med den nya exponenten. Alltså blir 12x³ till 3x⁴, och deriverar du 3x⁴ får du 12x³ igen.

Vilket är det vanligaste felet vid variabelsubstitution?

Det vanligaste felet är att glömma talet framför x inuti parentesen. I ∫(3x + 2)⁴ dx ger en höjd exponent (3x + 2)⁵ delat med 5, men parentesen växer 3 gånger så snabbt som x, så du måste också dela med 3. Nämnaren är 3 × 5 = 15, inte 5. Deriverar du (3x + 2)⁵ / 15 får du exakt (3x + 2)⁴ tillbaka.

Vad kostar det att använda det här spelet om integralkalkyl i undervisningen?

Ingenting: alla tre nivåerna, från enskilda potenser till substitution, öppnas i en webbläsarflik på skolans datorer eller surfplattor, utan elevkonton. För att öva integraler vid tavlan kan du be grupper hitta funktioner vars area från 0 till 2 är exakt 8. Konstanten 4, linjen 4x och kurvan 3x² fungerar alla, med tre helt olika former. Med skolabonnemanget, som kostar per elev, visar en lärarpanel vem som blir bättre på integraler.

Matteträning · nytänkt

Spel med integraler

I det här spelet om integraler börjar varje area vid x = 0 och slutar vid 2 eller 3, och substitutionsnivån frågar bara efter en nämnare. Motståndaren integrerar samma kurva, så varje steg du sparar låter din kämpe slå först.

Åldrarna 4–99+ · ingen nedladdning · spelas i din webbläsare · 23 språk

Välj din nivå ▸

Vad är en integral?

En integral summerar en storhet som hela tiden ändras. Ligger en kurva ovanför x-axeln ger den bestämda integralen arean under den mellan två värden på x, som kallas gränserna. Tänk dig en graf över en bils hastighet under en resa: arean under grafen är sträckan bilen har kört.

Alla nivåer i Integral

Exempel: ∫(0→2) (3x² + 8x + 5) dx

Integrera en term i taget: 3x² blir x³, 8x blir 4x² och den ensamma 5:an blir 5x.
Sätt in den övre gränsen, x = 2, i x³ + 4x² + 5x: det ger 8 + 16 + 10 = 34.
Vid den undre gränsen, x = 0, är varje term 0, så ingenting dras bort och du skriver 34.

Lär dig steg för steg

Integration är derivering baklänges — den summerar pyttesmå skivor för att hitta AREAN under en kurva.

Potensregeln vänds: ∫axⁿ dx = a·xⁿ⁺¹/(n+1) — höj exponenten med ett, dividera sedan med den nya exponenten. För ∫2x dx från 0 till 3: det är x² beräknad vid 3 → 9.

Integrera, beräkna vid den övre gränsen (den undre är 0 här), och skriv arean.

Tips och vanliga misstag

Läs symbolerna som en mening: ∫ är ett utdraget S för ”summa”, och dx är en pytteliten bredd. Så ∫ 6x² dx betyder att summera tunna remsor med höjden 6x².
Ett vanligt misstag är att multiplicera med den nya exponenten i stället för att dividera. 6x² integreras till 2x³, inte 18x³; derivera svaret, så ska du få tillbaka 6x².
Rita linjen y = x från 0 till 6 på rutat papper och räkna rutorna under den. Triangeln täcker 18, precis som x²/2 vid 6 förutsäger.

Så spelar du

På de två första nivåerna visar varje runda en area att hitta, till exempel ∫(0→3) 8x³ dx, och du skriver heltalet den blir på knappsatsen: 162. Substitutionsnivån visar ∫(2x+5)³ dx och vill bara ha nämnaren i svaret: 8. Svara före motståndaren så slår Morot till, och hårdare ju tidigare du svarar rätt.

— Snabba svar —

Integral: den korta FAQ:n

Vad betyder dx i en integral?: I en integral anger dx variabeln du summerar längs, och det står för en pytteliten bredd i x. Så ∫ 6x² dx läses som en summa av remsor, var och en 6x² hög och dx bred. Gör remsorna smalare och smalare, så blir deras summa den exakta arean. Utan dx skulle integralen inte säga åt vilket håll du ska skära.
Hur beräknar man en bestämd integral?: En bestämd integral beräknas i tre steg. Hitta en primitiv funktion, alltså en funktion vars derivata är funktionen i integralen. Sätt in den övre gränsen och dra av värdet vid den undre gränsen. För 2x från 1 till 3 är x² en primitiv funktion, så 9 − 1 = 8. I det här spelet är den undre gränsen alltid 0, där de här primitiva funktionerna är 0.
Hur kommer man ihåg potensregeln vid integrering?: Tänk på strumpor och skor: du tar på strumporna först, men av skorna först. Derivering multiplicerar med exponenten och sänker den sedan med ett, så integrering gör om stegen i omvänd ordning: exponenten ökar med ett, och sedan delar du med den nya exponenten. Alltså blir 12x³ till 3x⁴, och deriverar du 3x⁴ får du 12x³ igen.
Vilket är det vanligaste felet vid variabelsubstitution?: Det vanligaste felet är att glömma talet framför x inuti parentesen. I ∫(3x + 2)⁴ dx ger en höjd exponent (3x + 2)⁵ delat med 5, men parentesen växer 3 gånger så snabbt som x, så du måste också dela med 3. Nämnaren är 3 × 5 = 15, inte 5. Deriverar du (3x + 2)⁵ / 15 får du exakt (3x + 2)⁴ tillbaka.
Vad kostar det att använda det här spelet om integralkalkyl i undervisningen?: Ingenting: alla tre nivåerna, från enskilda potenser till substitution, öppnas i en webbläsarflik på skolans datorer eller surfplattor, utan elevkonton. För att öva integraler vid tavlan kan du be grupper hitta funktioner vars area från 0 till 2 är exakt 8. Konstanten 4, linjen 4x och kurvan 3x² fungerar alla, med tre helt olika former. Med skolabonnemanget, som kostar per elev, visar en lärarpanel vem som blir bättre på integraler.

Mer matte att bemästra

Redo att köra?

Spela gratis ▸