순열과 조합 게임

순열과 조합이란 무엇일까요?

순열과 조합은 모든 경우를 다 쓰지 않고 고르는 방법의 수를 세는 두 가지 방법이에요. 조합은 순서가 상관없는 묶음이라서, 사과와 배는 배와 사과와 같은 한 쌍이에요. 순열은 순서가 있는 나열이라서, 사과를 먼저 먹고 배를 먹는 것과 그 반대는 서로 다른 경우예요.

예시: 6개에서 2개를 고르는 방법은 몇 가지일까요?

1. ₆C₂는 순서를 따지지 않고 6개 중에서 2개를 고르는 방법이 몇 가지인지 묻는 기호예요.
2. 먼저 순서를 따져 고르면 첫 번째는 6가지, 두 번째는 5가지라서 6 × 5 = 30가지예요.
3. 모든 쌍이 ‘A 다음 B’와 ‘B 다음 A’로 두 번 세어졌으니, 30의 절반인 15를 입력해요.

팁과 흔한 실수

• ₆P₃의 작은 3은 6부터 하나씩 줄여 가며 몇 개를 곱할지 알려 줘요. 6 × 5 × 4 = 120에서 멈추고, 1까지 곱하지 마세요.
• 흔한 실수는 조합에서 두 순서를 모두 세는 거예요. ₄C₂에서 AB와 BA를 따로 쓰면 12가 나오지만, 겹치는 것을 지우면 6쌍이 남아요.
• 가족 식사 자리에서 모두가 서로 한 번씩 악수하면 몇 번인지 물어보세요. 일곱 명이면 21번으로 ₇C₂와 같고, 사람이 늘수록 더 많아져요.

— 빠른 답변 —

경우의 수: 짧은 FAQ

순열과 조합의 차이는 무엇인가요?

고른 두 개의 자리를 바꿨을 때 다른 결과가 되는지가 차이예요. 순열에서는 달라져요. 문 비밀번호에서 1-2-3과 3-2-1은 서로 다른 번호예요. 조합에서는 달라지지 않는데, 손에 든 카드 패가 그런 예예요. 글자 4개에서 ₄P₃ = 24이지만 ₄C₃ = 4인데, 글자 3개짜리 묶음마다 6가지 순서로 늘어놓을 수 있기 때문이에요.

계산기 없이 조합의 수는 어떻게 구하나요?

순서를 따진 경우의 수를 센 다음, 한 묶음을 늘어놓는 방법의 수로 나눠요. ₇C₃라면 3개를 순서대로 고르는 방법은 7 × 6 × 5 = 210가지예요. 3개짜리 묶음은 3 × 2 × 1 = 6가지로 늘어놓을 수 있으니 ₇C₃ = 210 ÷ 6 = 35예요. 먼저 약분하면 더 빨라요. 위의 6과 아래의 6이 약분되어 7 × 5 = 35가 남아요.

조합의 수를 빨리 구하는 요령이 있나요?

파스칼의 삼각형을 쓰면 돼요. 여기에 모든 조합의 수가 들어 있어요. 맨 위에 1을 쓰고, 새로운 수는 바로 위 두 수의 합으로 써요. 맨 윗줄을 0번째 줄로 치면 6번째 줄은 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1이라서 ₆C₃ = 20이에요. 줄이 좌우 대칭이라 ₆C₄ = ₆C₂ = 15인데, 남길 4개를 고르는 것은 뺄 2개를 고르는 것과 같기 때문이에요.

학생들이 순열과 조합을 헷갈리는 이유는 무엇인가요?

두 질문의 표현이 비슷할 때가 많고, 문제가 순서를 따지는지 늘 분명히 말해 주지 않기 때문이에요. 작은 예로 확인하면 구별할 수 있어요. A, B, C에서 고른 쌍은 AB, AC, BC라서 ₃C₂ = 3이에요. 순서를 따지면 여기에 BA, CA, CB가 더해져 ₃P₂ = 6이에요. 두 목록을 나란히 보면 차이가 머리에 남아요.

경우의 수를 무료로 수업에 활용할 방법이 있나요?

있어요. 올림픽 수준의 혼합 레벨까지 세 레벨 모두 어떤 브라우저에서든 무료로 열리고, 학생 계정도 설치도 필요 없어요. 칠판에서 경우의 수를 연습하려면 학생 5명을 앞으로 불러 3명짜리 위원회를 몇 개 만들 수 있는지 물어보세요. 다음에는 위원장, 서기, 회계를 정하는 방법이 몇 가지인지 물어보세요. 답인 10과 60을 보면 위원회마다 6가지 순서가 있다는 걸 알 수 있어요. 학교 요금제는 학생 수에 따라 요금이 정해지고, 누가 실력이 늘고 있는지 교사용 대시보드로 보여 줘요.