극한 게임

함수의 극한이란?

극한은 x가 어떤 수에 점점 가까워질 때 함수의 값이 다가가는 값이에요. lim x→3은 ‘x가 3에 한없이 가까워질 때’라고 읽고, 함수는 x = 3에서 값이 없어도 괜찮아요. 문을 향해 걸으며 남은 거리의 절반씩만 가 보세요. 원하는 만큼 가까이 갈 수 있고, 그 문이 바로 극한이에요.

예시: x → 7일 때 (x² − 11x + 28) / (x − 7)의 극한

1. 먼저 7을 대입해요. 분자는 49 − 77 + 28 = 0, 분모는 7 − 7 = 0이 되어 0/0 꼴이 나오니, 아직 극한을 알 수 없어요.
2. 곱해서 28, 더해서 11이 되는 두 수를 찾으면 7과 4라서, 분자는 곱 (x − 7)(x − 4)로 인수분해돼요.
3. 분자와 분모에 모두 있는 (x − 7)을 약분하면 x − 4만 남아요.
4. 이제 x − 4에 7을 대입하면 3이 나오니, 극한은 3이고 입력할 답도 3이에요.

팁과 흔한 실수

• 늘 같은 순서를 따르세요. 먼저 대입해서 수가 나오면 끝이에요. 0/0이면 인수분해하고 약분해요. x → ∞이면 최고차항끼리만 비교해요.
• 흔한 실수는 (x² − 25) / (x − 5)에서 x를 하나씩 지우는 거예요. 약분은 인수 통째로만 할 수 있으니, 먼저 분자를 (x − 5)(x + 5)로 바꿔 쓰세요.
• 집에서는 계산기로 극한을 눈으로 볼 수 있어요. (x² − 16) / (x − 4)에 x = 3.9, 3.99, 3.999를 넣으면 결과가 7.9, 7.99, 7.999로 8에 다가가요.

— 빠른 답변 —

극한: 짧은 FAQ

극한에서 x → ∞는 무슨 뜻인가요?

x가 끝없이 커져서 말할 수 있는 어떤 수보다도 커진다는 뜻이에요. 그래서 ∞는 대입하는 값이 아니라 나아가는 방향이에요. 극한은 그 길에서 함수가 어떤 값에 다가가는지 물어요. x가 커지면 1/x는 0에 다가가요. 반면 12x를 4x로 나눈 값은 0이 아닌 모든 x에서 3이므로, 무한대에서의 극한도 3이에요.

세제곱의 차가 있는 극한은 어떻게 풀어요?

분자를 공식 a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)로 인수분해해요. x → 4일 때 (x³ − 64) / (x − 4)라면 분자는 (x − 4)(x² + 4x + 16)이 돼요. (x − 4)를 약분하고 대입하면 16 + 16 + 16 = 48이에요. 이 꼴에는 빠른 검산법도 있어요. x가 다가가는 수의 제곱의 3배, 즉 3 × 4² = 48이에요.

극한은 몇 살 때 배우나요?

많은 학교 제도에서 극한은 16~18세쯤, 중등 교육이 끝나갈 무렵에 배우고, 대학의 첫 미적분 수업에서 다시 만나요. 수업은 대개 여기 레벨과 같은 순서로 진행돼요. 먼저 대입, 다음은 0/0 꼴, 마지막은 무한대에서의 극한이에요. 여기 세 레벨은 16세에 맞춰져 있어요.

약분했는데 극한이 왜 틀리게 나오나요?

대개 약분은 맞았고 마지막 단계가 빠진 거예요. 남은 식을 그 점에서 다시 계산해야 해요. x → 9일 때 (x² − 13x + 36) / (x − 9)에서 분자는 (x − 9)(x − 4)예요. 약분하면 x − 4가 남으니 극한은 9 − 4 = 5예요. 괄호 안에 남은 4를 입력하는 게 대표적인 실수예요.

이 극한 대결은 무료이고, 수업에서도 쓸 수 있나요?

네, 세 레벨 모두 학급에서 무료로 쓸 수 있고, 계정이나 설치 없이 아무 브라우저 탭에서나 열려요. 극한 연습으로 칠판에 (x² − 9) / (x − 3), (x³ − 27) / (x − 3), (x² − 5x + 6) / (x − 3)을 적어 보세요. 셋 다 x = 3에서 0/0이 되지만, 인수분해한 모둠은 극한 6, 27, 1을 찾아내요. 학생 수에 따라 요금이 매겨지는 학교 요금제에서는 교사 대시보드로 누가 극한을 점점 빨리 푸는지 볼 수 있어요.