一次関数y = ax + bの形が便利な理由
式がこの形になっていれば、傾きと出発点をそのまま読み取れて、数秒で直線のグラフがかけます。ここでは、式の読み方、2点やほかの形の式からy = ax + bを求める方法、そして多くの人がつまずくミスを紹介します。
直線の式y = ax + bはどうやって求める？
直線の式を求めるには、傾きaと切片bの2つが必要です。まず2点から傾きをa = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)で求めます。次に、1つの点と傾きをy = ax + bに代入してbを求めます。最後に、aとbに求めた数を入れた式を書きます。
例
2点(1, 5)と(3, 9)を通る直線の式を求めましょう。
- 傾き：a = (9 − 5) ÷ (3 − 1) = 4 ÷ 2 = 2
- 点(1, 5)を代入：5 = 2 × 1 + b、よってb = 3
- 式：y = 2x + 3
- もう1つの点(3, 9)で確認：2 × 3 + 3 = 9。合っています。
最後の確認は10秒で終わり、ほとんどのミスを見つけられるので、習慣にする価値があります。
傾きが分数になったら？
ここで分数が出てくるのはごく普通のことで、分数になったからといって間違えたわけではありません。2点(4, 0)と(−2, 4)を考えます。傾きは(4 − 0) ÷ (−2 − 4) = 4 ÷ (−6) = −2/3です。次に0 = −2/3 × 4 + bからb = 8/3となるので、y = −2/3x + 8/3です。(−2, 4)で確認すると、4/3 + 8/3 = 12/3 = 4です。
傾きは四捨五入した小数ではなく、分数のままにしておきましょう。分数は正確な値なので、確認がぴったり合います。分数でつまずくなら、分数ゲームを何回か遊ぶと、大きさの等しい分数を見つけたり約分したりするのがずっと速くなります。
上のラウンドでは、分母と分子の両方に10をかけているので、7/10 = 70/100です。
y = ax + bのaとbは何を表す？
y = ax + bでは、aが傾き、bが切片です。傾きは、xが1増えたときにyがどれだけ変化するかを表し、変化の割合と同じ値になります。切片はx = 0のときのyの値で、直線がy軸と交わる点(0, b)のことです。
例
y = 3x − 2では、傾きは3、切片は−2です。直線はy軸と(0, −2)で交わり、右に1進むごとに3上がります。y = −2x + 4では傾きが−2なので、右に1進むごとに2下がり、y軸とは(0, 4)で交わります。
教科書OpenStax College Algebra 2e（英語）では、傾きを「rise over run」（縦の変化÷横の変化）、切片を入力の値が0になる点として説明しています。傾きが正なら直線は右上がり、負なら右下がりで、符号を除いた数が大きいほど傾きは急になります。
aとbを身近な例でイメージする
高さ20 cmのろうそくが、1時間に2 cmずつ短くなるとします。t時間後の高さはh = −2t + 20です。20は最初の高さ（b）、−2は1時間ごとの変化（a）です。3時間後には14 cmになり、10時間後には燃えつきます。bを最初の値、aを1ステップごとの変化と考えるとわかりやすいという人は多いです。
y = ax + bのグラフはどうかく？
y = ax + bのグラフをかくには、まずy軸上の切片(0, b)から始めます。そこから、傾きを縦の変化÷横の変化として使います。横の変化の分だけ右に、縦の変化の分だけ上に（傾きが負なら下に）進んで2つ目の点を見つけます。2点を通る直線を引いて、両側にのばします。
例
y = 2x + 1のグラフをかきましょう。
- 切片の点(0, 1)をとります。
- 傾き2は2/1という意味なので、右に1、上に2進みます。点(1, 3)に着きます。
- (0, 1)と(1, 3)を通る直線を引きます。
傾きが−2/3のようなときは、右に3、下に2進みます。分母を横の変化にすると方眼の格子点に乗るので、直線を正確にかきやすくなります。
Ax + By = Cの式をy = ax + bの形に直すには？
Ax + By = Cのような式をy = ax + bの形に直すには、yについて解きます。xの項を移項し、すべての項をyの係数でわります。するとxの係数が傾き、数だけの項が切片になります。
例
2x + 3y = 6を変形しましょう。
- 両辺から2xをひく：3y = −2x + 6
- すべての項を3でわる：y = −2/3x + 2
傾きは−2/3、切片は2です。よくあるミスは、2x + 3y = 6から傾きをそのまま2と読んでしまうことです。数が傾きと切片を表すのは、yだけが片方の辺にあるときだけです。
1点と傾きから作る式とy = ax + b、どちらを使う？
点(x₁, y₁)を通り傾きaの直線の式y − y₁ = a(x − x₁)は、1点と傾きがわかっているときにすぐ書けるので便利です。点(1, 5)と傾き2なら、y − 5 = 2(x − 1)です。かっこを外して整理すると、y = 2x − 2 + 5となり、y = 2x + 3に戻ります。どちらの形も同じ直線を表しています。
y = ax + bの形で書けない直線は？
y軸に平行な直線（縦の直線）は、y = ax + bの形で書けません。縦の直線上の点はすべてxが同じなので、横の変化が0になり、傾きを求めるには0でわることになります。そのため、縦の直線の傾きは定まりません。x = 3を通る縦の直線は、単にx = 3と書きます。
例
点(3, 1)と(3, 6)は縦の直線上にあります。傾きは(6 − 1) ÷ (3 − 3) = 5 ÷ 0となり、答えがありません。つまり、この直線はx = 3です。また、縦の直線はy軸そのものでない限りy軸と交わらないので、bに入れる切片もありません。
横の直線は問題ありません。点(−1, 4)と(5, 4)からは傾き0 ÷ 6 = 0が求まり、直線はy = 0x + 4、つまりy = 4です。
y = ax + bでよくあるミスは？
y = ax + bのミスのほとんどは、理解不足ではなく小さなうっかりです。点の座標を入れかえる、傾きの式の上と下でひく順番を変える、yだけの形になる前にaとbを読んでしまう、といったものです。完成した式をもとの点の1つで確かめれば、ほぼすべて見つけられます。
うっかりミスの直し方
何度も出てくるうっかりミスと、それぞれの直し方をまとめました。
- 点のxとyを取りちがえる。(5, 7)はx = 5、y = 7という意味です。読むときは「横が先、縦があと」と唱えましょう。
- ひく順番を変える。上で9 − 5を計算したら、下は3 − 1にして、どちらも同じ点を先にします。
- aとbを取りちがえる。y = 4 + 3xでも傾きは3です。aはどこにあってもxについている数だからです。
- マイナスを落とす。y = −x + 2の傾きは1ではなく−1です。
- 分数は間違いだと思いこむ。3/4や−2/3のような傾きも、2と同じように正しい値です。
y = ax + bが自然に使えるまで練習しよう
直線をすばやく読めるようになるには、たくさんの直線を見ることが一番です。一次関数ゲームでは、攻撃のたびに直線についての問題が出るので、宿題のような感覚なしに、傾きと切片を見つける練習をたっぷりできます。
bを求めるのも、1ステップの簡単な方程式です。そこで手が止まるなら、方程式ゲームがいいウォーミングアップになります。
使う文字は国によってちがいます。英語圏の国々では同じ式をy = mx + bと書き、ロシアではy = kx + b、イタリアではy = mx + qと書きます。フランスやポーランドでは日本と同じy = ax + bです。どんな文字でも、xの前の数はいつも傾きで、数だけの項は直線がy軸と交わる位置を表します。
縦の直線以外は2つの数で表せる
縦の直線でなければ、どんな直線もy = ax + bと書けるので、2つの数だけで完全に表せます。傾きは直線の急さと向きを、切片はどこから始まるかを教えてくれます。この2つの数を見つけ、1つの点で式を確かめれば、あとは自然に解けます。