終わりのある小数も、どこまでもくり返す小数も、すべて分数で表せます。小数を分数に直すのは、ほとんどの数なら短い三つのステップでできます。0.333…のような循環小数には、もう一つコツが必要です。ここでは両方の方法と、覚えておく価値のある小数の一覧、そしていちばんつまずきやすいまちがいを紹介します。
小数を分数に直すには?
小数を分数に直すには、小数点より下の数字を、小数の桁数に合わせて10、100、1,000を分母にした分数にします。小数第1位までなら分母は10、第2位までなら100、第3位までなら1,000です。それから、分子と分母を同じ数でわって約分します。
例
0.75を分数に直します。
- 小数の桁数を数えます。0.75は2桁なので、分母は100です。
- その上に数字を書きます。0.75 = 75/100です。
- 約分します。75も100も25でわれるので、3/4になります。
だから、0.75 = 3/4です。かんたんに確かめるには、紙か電卓で3を4でわります。また0.75になります。
2.5を分数にすると?
2.5は小数第1位までなので、25/10になります。どちらの数も5でわれるので、5/2です。整数の部分を分けて考えることもできます。2はそのままで、0.5は5/10になり、約分すると1/2です。だから、2.5 = 5/2 = 2 1/2です。
0.125を分数にすると?
0.125は小数第3位までなので、125/1,000になります。どちらの数も125でわれるので、1/8です。これは覚えておく価値があります。8分の1は、料理のレシピや計測、学校の問題でよく出てくるからです。
答えは帯分数と仮分数のどちらにすればいいですか?
どちらも正しい答えです。1.25は、5/4(仮分数。分子が分母より大きい分数)とも、1 1/4(帯分数。整数部分と分数部分がある数)とも書けます。地域によっては、先生がどちらかの形を好むこともあるので、問題が何を求めているかを確かめましょう。形を変えるには、5/4は4分の1が四つ(1つ分)と、もう一つの4分の1だと考えます。
分数はどうやって約分しますか?
分数を約分するには、分子と分母の両方をわりきれるいちばん大きな数、つまり最大公約数でわります。すぐにわからなければ、2、5、10などの小さな数で、両方をわれる数がなくなるまで何度もわります。両方をわれる数が1だけになったら、約分は完了です。
例
0.36を直します。小数第2位までなので、まず36/100です。どちらの数も4でわれるので、9/25になります。9と25には1以外の公約数がないので、9/25がいちばん簡単な形です。
もっと小さなステップで進めることもできます。36/100を2でわると18/50、もう一度2でわると9/25です。同じ答えになります。最大公約数をすばやく見つけることは、それ自体が一つの力です。最大公約数ゲームでは、それがちょっとしたチャレンジになります。長い分数の問題の前の準備運動にぴったりです。
覚えておく価値のある小数は?
何度も出てくる小数はかぎられていて、それらの分数を知っていれば時間の節約になります。2分の1、4分の1、5分の1、8分の1と、3分の1の循環小数などです。これらを覚えておけば、何も書かずに頭の中で小数を分数に直せることがよくあります。
- 0.1 = 1/10
- 0.2 = 1/5
- 0.25 = 1/4
- 0.4 = 2/5
- 0.5 = 1/2
- 0.6 = 3/5
- 0.75 = 3/4
- 0.8 = 4/5
- 0.125 = 1/8
- 0.375 = 3/8
- 0.625 = 5/8
- 0.875 = 7/8
- 0.333… = 1/3
- 0.666… = 2/3
- 0.1666… = 1/6
- 0.111… = 1/9
例
0.625は何でしょう?0.125 = 1/8を知っていれば、0.625はその5倍なので、5/8です。このように、知っている式から新しい式を作れます。二つの形を行き来するのは、使い続けるうちにずっと速くなります。小数ゲームや分数ゲームを短く何回かプレイすれば、楽しみながらスピードをつけられます。一日数分でも、上の一覧がなじみのあるものになります。
循環小数を分数に直すには?
小数点のすぐあとから同じ数字がくり返す小数では、くり返す部分を分子にし、くり返す数字と同じ数だけ9を並べた数を分母にします。くり返す数字が一つなら分母は9、二つなら99、三つなら999です。それから約分します。だから、0.777… = 7/9、0.272727… = 27/99で、約分すると3/11です。
例
0.454545…を分数に直します。くり返す部分は45で2桁なので、分母は99です。すると45/99になります。どちらの数も9でわれるので、答えは5/11です。5を11でわると、また0.454545…になることで確かめられます。
0.1666…のように、くり返しがあとから始まる場合は、9のルールにもう一つステップが必要です。いつでも使える方法として、少しだけ文字式を使うやり方があります。
- この数をxとします。x = 0.1666…です。
- 10をかけて、くり返さない数字を小数点の前に移します。10x = 1.666…です。
- 100をかけて、くり返し一回分も前に移します。100x = 16.666…です。
- 3番目の式から2番目の式を引きます。くり返す部分が消えます。90x = 15です。
- わります。x = 15/90で、約分すると1/6です。
0.333は1/3と同じですか?
いいえ。ちょうど3桁の0.333は333/1,000で、1/3よりほんの少し小さい数です。3がどこまでも続く0.333…だけが、ちょうど1/3です。循環小数を書くときは、三つの点か、くり返す数字の上の線で、くり返すことを示しましょう。そうしないと、別の数になってしまいます。
なぜ0.999…は1と等しいのですか?
これにおどろく人はたくさんいます。1/3 = 0.333…から始めます。両辺に3をかけます。左辺は3/3で、1になります。右辺は0.999…になります。だから、0.999… = 1です。9のルールでも同じ結果になります。0.999… = 9/9 = 1だからです。0.999…は1のすぐ下の数ではなく、1の別の書き方なのです。
小数を分数に直すときのよくあるまちがいは?
いちばんよくあるまちがいは、分母の0の数をまちがえること、約分を忘れること、整数部分を落とすこと、途中で切れた小数をくり返す小数のようにあつかうことです。どれも、分子を分母でわって答えを確かめれば、かんたんに気づけます。
例
ある人が0.05を分数に直して、5/10と書きました。これは0.5で、10倍大きすぎます。0.05は小数第2位までなので、分母は100です。正しい答えは5/100で、約分すると1/20です。
次のことに気をつけましょう。
- 分母の10の累乗をまちがえる。0も含めて、小数点より下の数字をすべて数えます。0.05は1桁ではなく2桁です。
- 約分しない。75/100は正しいけれど、まだ途中です。求められている答えは3/4です。
- 整数部分を落とす。3.2は3 2/10で、約分すると3 1/5、または16/5です。2/10ではありません。
- 循環小数を途中で切る。0.66は66/100 = 33/50ですが、0.666…は2/3です。
どんな分数が循環小数になりますか?
いちばん簡単な形の分数は、分母が2と5以外の素因数をもたなければ、終わりのある小数になります。分母に3、7、11など、ほかの素因数が一つでもあれば、その小数はどこまでもくり返します。わり算をする前に、どうなるかをすばやく知る方法です。
例
3/8を見てみましょう。分母の8は2 × 2 × 2なので、小数は終わります。3/8 = 0.375です。次に1/6を見てみましょう。分母の6は2 × 3で、3があるので小数はくり返します。1/6 = 0.1666…です。同じように、1/7 = 0.142857142857…で、六つの数字がどこまでもくり返します。7が2でも5でもない素数だからです。
このルールから、上の二つの方法ですべての場合をあつかえる理由もわかります。終わりのある小数は、分母が2と5だけでできた分数から生まれ、くり返す小数は、それ以外のすべての分数から生まれます。どちらにしても、終わる小数やくり返す小数は、形を変えた分数なのです。