Gioco dei vettori

Che cos’è un vettore?

Un vettore è una grandezza con un’intensità, una direzione e un verso, e si disegna come una freccia. Un vento di 20 km/h è solo una velocità finché non dici che soffia verso nord; allora è un vettore. Due frecce sono lo stesso vettore se hanno la stessa lunghezza, la stessa direzione e lo stesso verso, ovunque comincino.

Esempio: il modulo di ⟨24; 7⟩

1. Le barre intorno a ⟨24; 7⟩ chiedono il suo modulo, cioè la sua lunghezza: la freccia avanza di 24 in orizzontale e sale di 7.
2. Moltiplica ogni componente per sé stessa: 24 × 24 = 576 e 7 × 7 = 49.
3. Somma i due quadrati per ottenere 625, poi cerca il numero che moltiplicato per sé stesso dà 625: è 25.
4. La freccia è lunga 25, appena più dei suoi 24 in orizzontale, quindi scrivi 25.

Consigli ed errori comuni

• Immagina θ = 0°: la freccia è distesa sull’asse x, quindi x è tutta la lunghezza r. Siccome cos 0° = 1, la x va con il coseno e la y con il seno.
• Un errore comune è sommare le due componenti: ⟨12; 9⟩ non è lungo 21, perché la freccia dritta taglia l’angolo. Invece 144 + 81 = 225, e √225 = 15.
• Per esercitarti con la somma di vettori, cammina per 6 piastrelle, gira ad angolo retto e cammina per 8: ⟨6; 0⟩ + ⟨0; 8⟩ = ⟨6; 8⟩. Uno spago teso fino alla partenza misura 10 piastrelle.

— Risposte rapide —

Vettori: le FAQ lampo

Che cosa indica il prodotto scalare di due vettori?

Il prodotto scalare indica con un solo numero quanto due vettori sono allineati: è il prodotto dei due moduli per il coseno dell’angolo tra loro. È positivo se l’angolo è minore di 90°, vale 0 con un angolo retto ed è negativo oltre. Per ⟨2; 6⟩ e ⟨3; −1⟩ vale 2 × 3 + 6 × (−1) = 0, quindi sono perpendicolari. Nel gioco ogni componente va da 1 a 9, perciò il prodotto è sempre positivo.

Come si passa dalle coordinate polari a quelle cartesiane?

Per avere le coordinate cartesiane, moltiplica la lunghezza r per cos θ per trovare x e per sin θ per trovare y. Le coordinate polari individuano un punto con una distanza e un angolo; quelle cartesiane, con uno spostamento orizzontale e uno verticale. Con r = 12 e θ = 30°, y = 12 × sin 30° = 12 × ½ = 6. Il gioco usa r pari e angoli con seno o coseno uguale a 0, ½ o 1, a volte negativo, così il risultato è intero.

C’è un trucco per calcolare in fretta il modulo di un vettore?

Il trucco più rapido è riconoscere la terna pitagorica dietro il vettore: tre numeri interi in cui la somma dei quadrati dei primi due è il quadrato del terzo. Il gioco costruisce tutti i vettori da sole cinque terne, come 5, 12 e 13 o 8, 15 e 17, oppure da un loro multiplo. Così ⟨16; 12⟩ è quattro volte ⟨4; 3⟩, e il suo modulo è 4 × 5 = 20.

Perché la mia componente x è negativa?

Una x negativa è la risposta giusta ogni volta che l’angolo supera i 90°, perché la freccia punta allora a sinistra del punto di partenza. Siccome cos 120° = −½, con r = 8 e θ = 120° si ha x = 8 × (−½) = −4, e a 180° la x è l’intera lunghezza con il segno meno. Scrivila con il tasto meno. Qui la y non è mai negativa, perché nessun angolo supera i 180°.

Questo gioco di matematica sui vettori è gratis, e come lo uso in classe?

Sì, i tre livelli sui vettori sono gratuiti in qualsiasi browser, e nessuno deve registrarsi o installare qualcosa. Per scaldare la classe, chiedi quante frecce con componenti intere sono lunghe esattamente 13. A coppie gli studenti le cercano, come ⟨5; 12⟩ o ⟨−13; 0⟩, finché saltano fuori tutte e 12; disegnate da uno stesso punto, le loro punte formano una circonferenza. Con il piano per le scuole, il docente paga per studente e vede su una dashboard chi migliora.