d/dx significa «derivata rispetto a x»: è un’istruzione per scoprire quanto in fretta cambia ciò che segue quando cambia x. Così d/dx [x³] = 3x², che si legge «la derivata di x al cubo è tre x al quadrato». La d indica una differenza minuscola, per questo d/dx ricorda una pendenza: una variazione di altezza divisa per una variazione di x.

Come si deriva un polinomio?

Un polinomio si deriva termine per termine, applicando a ciascuno la regola della potenza. In 3x² + 4x + 6, 3x² diventa 6x, 4x diventa 4 e il 6 sparisce, perché una costante non cambia mai. Quindi la derivata è 6x + 4, e il suo valore in x = 2 è 6 × 2 + 4 = 16.

Come ricordare la regola del prodotto?

Ricorda la regola del prodotto come un gioco a turni: derivi il primo fattore mentre il secondo aspetta, poi il secondo mentre aspetta il primo, e sommi i due risultati. In simboli, (fg)′ = f′g + fg′. Verificala su x² · x³: dà 2x · x³ + x² · 3x² = 5x⁴, proprio ciò che ottieni derivando x⁵ direttamente.

Perché sbaglio sempre la regola della catena?

Quasi tutti gli errori con la regola della catena nascono dal dimenticare l’interno della parentesi. In (2x + 7)⁵, portare giù il 5 dà 5(2x + 7)⁴, ma l’interno, 2x + 7, cambia anch’esso con x, a un ritmo di 2. Moltiplica anche per quel 2 e la derivata è 10(2x + 7)⁴. Lasciare fuori quel ritmo interno è lo sbaglio classico.

Un insegnante di matematica può usare gratis questo gioco sulle derivate?

Sì, senza spendere nulla: i sei livelli girano nel browser di qualsiasi portatile o tablet della scuola, senza account né download. Per allenarsi a derivare in classe, disegna y = x² alla lavagna e chiedi ai gruppi la pendenza tra x = 3 e x = 4, poi fino a 3,5 e poi fino a 3,1. Ottengono 7, poi 6,5 e poi 6,1, sempre più vicini a 6, la derivata in 3. Con il piano per le scuole, con prezzo per studente, una dashboard per l’insegnante mostra chi migliora.

Allenamento di matematica · reinventato

Gioco delle derivate

Questo gioco sulle derivate va dalla derivata di una potenza in x = 2 fino alle derivate parziali, e ogni risposta è un numero intero da 2 a 200, mai una formula. Deriva più in fretta del tuo rivale e il tuo lottatore colpisce mentre l’altro sta ancora abbassando esponenti.

Da 4 a 99+ anni · nessun download · si gioca nel browser · 23 lingue

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Che cos’è una derivata?

La derivata è la rapidità con cui una funzione cambia in un punto preciso, e su un grafico è la pendenza della curva in quel punto. Si scrive f′(x) oppure d/dx. Pensa a un tachimetro: mentre un’auto viaggia, la distanza percorsa cresce, e la lancetta indica quanto in fretta cresce proprio in quell’istante.

Tutti i livelli di Derivata

Esempio: la derivata di 5x³ in x = 2

Porta davanti l’esponente 3 e moltiplicalo per il 5: fa 15.
Poi abbassa l’esponente di uno, da 3 a 2, quindi la derivata è 15x².
Ora sostituisci x = 2: 2² fa 4 e 15 × 4 = 60, quindi digiti 60.

Imparalo passo dopo passo

Una derivata misura quanto velocemente qualcosa sta cambiando — la pendenza della curva in un punto.

La regola della potenza: d/dx di axⁿ è (a·n)·xⁿ⁻¹ — moltiplica per l'esponente, poi abbassa l'esponente di uno. Quindi d/dx di 3x² è 6x; in x = 2 fa 12.

Applica la regola, sostituisci il punto, e scrivi la pendenza.

Consigli ed errori comuni

Con le potenze, l’esponente scende sempre esattamente di uno: x⁴ dà un termine in x³, x² un termine in x, e una x da sola dà un semplice numero.
Un errore comune è sostituire troppo presto. Metti x = 2 in 4x³ prima di derivare e ottieni 32, una costante con derivata 0. Prima deriva, poi sostituisci.
Con chi sta imparando, disegna y = x² su carta e appoggia un righello alla curva in x = 1, 2 e 3. Si inclina sempre di più, come le pendenze 2, 4 e 6.

Come si gioca

Un round tipico mostra d/dx [4x³] in x=2, e digiti il valore della derivata in quel punto: 48. Nei livelli della regola della catena e del prodotto digiti solo il numero davanti: la derivata di (3x + 1)⁵ è 15(3x + 1)⁴, quindi la risposta è 15. Rispondi giusto prima del tuo rivale e Broccolo attacca; meno tempo impieghi, più pesante è il colpo.

— Risposte rapide —

Derivata: le FAQ lampo

Cosa significa d/dx?: d/dx significa «derivata rispetto a x»: è un’istruzione per scoprire quanto in fretta cambia ciò che segue quando cambia x. Così d/dx [x³] = 3x², che si legge «la derivata di x al cubo è tre x al quadrato». La d indica una differenza minuscola, per questo d/dx ricorda una pendenza: una variazione di altezza divisa per una variazione di x.
Come si deriva un polinomio?: Un polinomio si deriva termine per termine, applicando a ciascuno la regola della potenza. In 3x² + 4x + 6, 3x² diventa 6x, 4x diventa 4 e il 6 sparisce, perché una costante non cambia mai. Quindi la derivata è 6x + 4, e il suo valore in x = 2 è 6 × 2 + 4 = 16.
Come ricordare la regola del prodotto?: Ricorda la regola del prodotto come un gioco a turni: derivi il primo fattore mentre il secondo aspetta, poi il secondo mentre aspetta il primo, e sommi i due risultati. In simboli, (fg)′ = f′g + fg′. Verificala su x² · x³: dà 2x · x³ + x² · 3x² = 5x⁴, proprio ciò che ottieni derivando x⁵ direttamente.
Perché sbaglio sempre la regola della catena?: Quasi tutti gli errori con la regola della catena nascono dal dimenticare l’interno della parentesi. In (2x + 7)⁵, portare giù il 5 dà 5(2x + 7)⁴, ma l’interno, 2x + 7, cambia anch’esso con x, a un ritmo di 2. Moltiplica anche per quel 2 e la derivata è 10(2x + 7)⁴. Lasciare fuori quel ritmo interno è lo sbaglio classico.
Un insegnante di matematica può usare gratis questo gioco sulle derivate?: Sì, senza spendere nulla: i sei livelli girano nel browser di qualsiasi portatile o tablet della scuola, senza account né download. Per allenarsi a derivare in classe, disegna y = x² alla lavagna e chiedi ai gruppi la pendenza tra x = 3 e x = 4, poi fino a 3,5 e poi fino a 3,1. Ottengono 7, poi 6,5 e poi 6,1, sempre più vicini a 6, la derivata in 3. Con il piano per le scuole, con prezzo per studente, una dashboard per l’insegnante mostra chi migliora.

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