Jeu du PGCD

Qu’est-ce que le plus grand commun diviseur ?

Le plus grand commun diviseur, ou PGCD, de deux nombres est le plus grand nombre qui les divise tous les deux sans reste. Imagine que tu partages 8 fraises et 12 raisins sur des assiettes toutes pareilles : tu peux en remplir 4 au maximum, avec 2 fraises et 3 raisins chacune.

Exemple : trouve PGCD(30 ; 24)

1. L’écran affiche PGCD(30 ; 24) : tu cherches le plus grand nombre qui divise à la fois 30 et 24.
2. Écris les diviseurs du plus petit, 24 : ce sont 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 et 24.
3. Teste-les sur 30 en partant du plus grand : 24, 12 et 8 laissent un reste, mais 30 ÷ 6 = 5, sans reste.
4. Le PGCD est donc 6, et tu tapes 6 sur le clavier.

Astuces et erreurs fréquentes

• Lis le nom à l’envers, il te donne la méthode : cherche les diviseurs de chaque nombre, garde ceux qui sont communs, puis prends le plus grand.
• Une erreur courante est de s’arrêter au premier diviseur commun. 18 et 42 sont pairs, mais 6 les divise aussi, donc PGCD(18 ; 42) vaut 6, pas 2.
• Prenez deux âges de la famille, comme 12 et 40, et voyez qui trouve le premier le plus grand nombre qui divise les deux. C’est 4 : 12 fait trois fois 4 et 40 dix fois 4.

— Réponses express —

PGCD : la FAQ éclair

Que veut dire un PGCD égal à 1 ?

Cela veut dire que les deux nombres n’ont aucun diviseur commun à part 1 : on dit qu’ils sont premiers entre eux. 8 et 15 en sont un bon exemple : 8 vaut 2 × 2 × 2 et 15 vaut 3 × 5, donc aucun facteur n’apparaît dans les deux. Aucun des deux n’a besoin d’être premier : ni 8 ni 15 ne le sont.

Comment calculer le PGCD de grands nombres ?

Avec de grands nombres, l’algorithme d’Euclide va plus vite que la liste des diviseurs. Divise le plus grand nombre par le plus petit et garde le reste. Divise ensuite le plus petit par ce reste, et recommence jusqu’à ce qu’il ne reste rien. Le dernier nombre par lequel tu as divisé est le PGCD. Pour 165 et 132, le premier reste est 33, et 132 divisé par 33 laisse 0, donc le PGCD vaut 33.

Comment voir vite si deux nombres ont un diviseur commun ?

Les critères de divisibilité donnent des indices rapides. Si les deux nombres sont pairs, 2 les divise. S’ils finissent tous les deux par 0 ou 5, 5 aussi. Si les chiffres de chaque nombre ont pour somme un multiple de 3, 3 divise les deux : pour 84 et 141, les sommes font 12 et 6. Un indice partagé prouve un diviseur commun, mais un plus grand peut encore se cacher.

Pourquoi mon enfant confond-il PGCD et PPCM ?

On les confond parce que les deux partent des mêmes deux nombres et contiennent tous les deux le mot « commun ». Le PGCD divise les deux nombres, donc il n’est jamais plus grand que le plus petit. Le PPCM, ou plus petit commun multiple, est le plus petit nombre que les deux divisent, donc il n’est jamais plus petit que le plus grand. Pour 6 et 8, le PGCD vaut 2 et le PPCM 24.

Ce jeu de PGCD est-il payant, et marche-t-il avec une classe ?

Il n’est pas payant : les deux niveaux tournent dans le navigateur des ordinateurs, tablettes ou téléphones de l’école, sans inscription ni installation. Pour travailler le plus grand diviseur commun au tableau, dessine deux cercles qui se chevauchent. Les élèves remplissent l’un avec les diviseurs de 18 et l’autre avec ceux de 24, puis placent les communs, 1, 2, 3 et 6, dans la partie partagée. Le plus grand, 6, est le PGCD. L’offre pour les écoles, tarifée par élève, ajoute un tableau de bord enseignant qui suit les progrès de chacun.