Jeu de factorielles

Qu’est-ce qu’une factorielle ?

Une factorielle multiplie un nombre entier par tous les entiers plus petits que lui, jusqu’à 1. Elle s’écrit avec un point d’exclamation : 5! se lit « factorielle cinq » et vaut 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Chaque nouvelle factorielle multiplie la précédente par un nombre de plus, c’est pourquoi 10! atteint déjà 3628800.

Exemple : combien fait 6! / 4! ?

1. Écris les deux comptes à rebours : 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 et 4! = 4 × 3 × 2 × 1.
2. Les nombres multipliés dans 4! se trouvent aussi dans 6!, donc ils se simplifient.
3. En haut, il ne reste que 6 × 5, et 6 × 5 = 30.
4. Le calcul complet donne la même chose, car 720 / 24 = 30 : tu tapes donc 30.

Astuces et erreurs fréquentes

• Associe deux valeurs à l’horloge : 4! = 24 est le nombre d’heures dans une journée, et 6! = 720 le nombre d’heures dans 30 jours.
• Une erreur fréquente consiste à additionner au lieu de multiplier : 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15, mais 5! = 120. Dis « fois » à chaque étape.
• Retourne des cartes de 1 à 8 dans l’ordre pendant que ton enfant multiplie à voix haute chaque carte par le résultat précédent : 1, 2, 6, 24, jusqu’à 40320.

— Réponses express —

Factorielle : la FAQ éclair

Pourquoi factorielle 0 vaut-elle 1 ?

Factorielle 0 vaut 1 par définition, et cette définition prolonge la règle sans la casser. En descendant la liste, on divise à chaque étape par le nombre de la factorielle du dessus : 3! = 4! / 4 = 6, 2! = 3! / 3 = 2 et 1! = 2! / 2 = 1. Une étape de plus donne 0! = 1! / 1 = 1. Le jeu ne demande jamais 0!, car sa plus petite factorielle est 1!.

Comment calculer n factorielle sans calculatrice ?

Construis n factorielle à partir de la précédente : chaque étape ne coûte qu’une multiplication. Si tu sais que 5! = 120, alors 6! = 6 × 120 = 720. Pour une grande factorielle, regroupe les nombres en produits faciles. Dans 8!, fais 8 × 5 = 40, 7 × 6 = 42 et 4 × 3 × 2 = 24. Ensuite, 40 × 42 = 1680, et 1680 × 24 = 40320.

Existe-t-il une astuce pour vérifier une factorielle ?

Oui, le dernier chiffre offre une vérification rapide. À partir de 5!, toute factorielle contient 5 et 2, donc elle se termine par 0 : 120, 720, 5040 et 40320. À partir de 10!, elle se termine par au moins deux zéros. Si ton 7! finit par un autre chiffre, une multiplication a dérapé. Pour un quotient, multiplie ta réponse par la factorielle du bas : tu dois retrouver celle du haut.

Pourquoi mon enfant se trompe-t-il en divisant des factorielles ?

Le plus souvent, il divise les nombres placés devant les signes, et 6! / 3! devient 6 / 3 = 2. Or chaque ! représente un compte à rebours entier, et la vraie réponse est 720 / 6 = 120. Demande-lui d’écrire les deux comptes à rebours, de barrer les nombres communs et de multiplier ce qui reste : 6 × 5 × 4 = 120. Après quelques manches, il barre de tête.

Ce jeu sur les factorielles est-il gratuit pour une classe, et comment l’utiliser en cours ?

Oui : aucun niveau de factorielles ne demande d’argent, de compte ni d’installation ; les élèves ouvrent simplement un navigateur. Pour lancer un cours sur les factorielles, écris 10! / 8! au tableau et demande le résultat sans calculatrice : en simplifiant, il reste 10 × 9 = 90. Essaie ensuite 100! / 98!, qui semble impossible et vaut juste 100 × 99 = 9900. Avec l’offre pour les écoles, facturée par élève, l’enseignant voit sur un tableau de bord qui progresse.