Jeu de dénombrement

Que sont les combinaisons et les arrangements ?

Les combinaisons et les arrangements sont deux façons de compter des choix sans tous les écrire. Une combinaison est un groupe où l’ordre ne compte pas : pomme et poire forment la même paire que poire et pomme. Un arrangement est une file ordonnée : manger d’abord la pomme puis la poire, ce n’est pas pareil que l’inverse. Le jeu note les arrangements avec la lettre P.

Exemple : combien de paires former avec 6 objets ?

1. Le symbole ₆C₂ demande combien de paires différentes on peut choisir parmi 6 objets quand l’ordre ne compte pas.
2. En choisissant dans l’ordre, on a 6 possibilités pour le premier et 5 pour le second : 6 × 5 = 30 choix ordonnés.
3. Chaque paire a été comptée deux fois, comme A puis B et comme B puis A, donc tu prends la moitié de 30 et tu tapes 15.

Astuces et erreurs fréquentes

• Dans ₆P₃, le petit 3 te dit combien de nombres multiplier en descendant depuis 6 : 6 × 5 × 4 = 120. Arrête-toi là, pas à 1.
• Une erreur fréquente consiste à compter les deux ordres dans une combinaison. Pour ₄C₂, noter AB et BA séparément donne 12 ; barre les doublons et il reste 6 paires.
• Pendant un repas de famille, demande combien de poignées de main il y a si chacun salue une fois tous les autres. Sept personnes en font 21, soit ₇C₂, et chaque invité de plus en ajoute.

— Réponses express —

Dénombrement : la FAQ éclair

Quelle est la différence entre un arrangement et une combinaison ?

La différence tient à une question : échanger deux éléments choisis donne-t-il un nouveau résultat ? Dans un arrangement, oui, comme dans un code de porte, où 1-2-3 et 3-2-1 sont deux codes différents. Dans une combinaison, non, comme dans une main de cartes. Avec 4 lettres, ₄P₃ = 24 mais ₄C₃ = 4, car chaque groupe de 3 lettres peut se ranger dans 6 ordres.

Comment calculer une combinaison sans calculatrice ?

Compte les choix ordonnés, puis divise par le nombre d’ordres possibles pour chaque groupe. Pour ₇C₃, il y a 7 × 6 × 5 = 210 choix ordonnés de trois. Chaque groupe de trois se range de 3 × 2 × 1 = 6 façons, donc ₇C₃ = 210 ÷ 6 = 35. Simplifier d’abord va plus vite : le 6 du haut s’annule avec le 6 du bas, et il reste 7 × 5 = 35.

Existe-t-il une astuce pour trouver les coefficients binomiaux ?

Oui, le triangle de Pascal contient toutes les combinaisons. Écris 1 en haut, puis chaque nouveau nombre comme la somme des deux qui sont au-dessus. La ligne 6, en comptant celle du haut comme la ligne 0, donne 1, 6, 15, 20, 15, 6 et 1, donc ₆C₃ = 20. La ligne est symétrique, d’où ₆C₄ = ₆C₂ = 15 : choisir 4 éléments à garder revient à en choisir 2 à laisser.

Pourquoi les élèves confondent-ils arrangements et combinaisons ?

Les élèves les confondent parce que les deux questions se ressemblent souvent et que l’énoncé ne dit pas toujours si l’ordre compte. Un petit cas tranche la question. Avec A, B et C, les paires sont AB, AC et BC, donc ₃C₂ = 3. Les choix ordonnés sont ces trois-là plus BA, CA et CB, donc ₃P₂ = 6. Voir les deux listes côte à côte fixe la différence.

Existe-t-il un moyen gratuit de faire du dénombrement en classe ?

Oui, celui-ci : les trois niveaux, mélange olympique compris, s’ouvrent gratuitement dans n’importe quel navigateur, sans compte élève ni installation. Pour travailler le dénombrement au tableau, fais venir 5 volontaires et demande combien de comités de 3 ils pourraient former. Demande ensuite de combien de façons ils pourraient se répartir présidence, secrétariat et trésorerie. Les réponses, 10 et 60, montrent que chaque comité se range dans 6 ordres. Avec l’offre pour les écoles, facturée par élève, un tableau de bord montre à l’enseignant qui progresse.