d/dx veut dire « dérivée par rapport à x » : c’est une consigne pour trouver à quelle vitesse ce qui suit change quand x change. Ainsi, d/dx [x³] = 3x², qui se lit « la dérivée de x au cube est trois x au carré ». Le d désigne une différence minuscule, et c’est pourquoi d/dx ressemble à une pente : une variation de hauteur divisée par une variation de x.

Comment dériver un polynôme ?

On dérive un polynôme terme par terme, en appliquant à chacun la formule des puissances. Dans 3x² + 4x + 6, 3x² devient 6x, 4x devient 4 et le 6 disparaît, car une constante ne change jamais. La dérivée est donc 6x + 4, et sa valeur en x = 2 est 6 × 2 + 4 = 16.

Comment retenir la dérivée d’un produit ?

Retiens la dérivée d’un produit comme un tour de rôle : on dérive le premier facteur pendant que le second attend, puis le second pendant que le premier attend, et on additionne les deux résultats. En symboles, (uv)′ = u′v + uv′. Vérifie-la sur x² · x³ : elle donne 2x · x³ + x² · 3x² = 5x⁴, exactement ce que donne la dérivée de x⁵.

Pourquoi je me trompe toujours en dérivant une fonction composée ?

La plupart des erreurs sur les fonctions composées viennent d’un oubli : l’intérieur de la parenthèse. Pour (2x + 7)⁵, descendre le 5 donne 5(2x + 7)⁴, mais l’intérieur, 2x + 7, varie lui aussi avec x, à un rythme de 2. Multiplie aussi par ce 2 : la dérivée vaut 10(2x + 7)⁴. Oublier la dérivée de l’intérieur est l’erreur classique.

Un prof de maths peut-il utiliser ce jeu sur les dérivées gratuitement ?

Oui, sans rien payer : les six niveaux tournent dans le navigateur de n’importe quel ordinateur portable ou tablette de l’établissement, sans compte ni téléchargement. Pour lancer un entraînement à la dérivation en classe, trace y = x² au tableau et demande aux groupes la pente entre x = 3 et x = 4, puis jusqu’à 3,5, puis jusqu’à 3,1. Ils trouvent 7, puis 6,5, puis 6,1, de plus en plus près de 6, la dérivée en 3. L’offre pour les écoles, facturée par élève, permet ensuite de suivre sur un tableau de bord les progrès de chaque élève.

L'entraînement aux maths · réinventé

Jeu de dérivées

Ce jeu sur les dérivées va de la dérivée d’une puissance en x = 2 jusqu’aux dérivées partielles, et chaque réponse est un nombre entier de 2 à 200, jamais une formule. Dérive plus vite que ton rival, et ton combattant frappe pendant que l’autre fait encore descendre ses exposants.

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Qu’est-ce qu’une dérivée ?

La dérivée indique à quelle vitesse une fonction change en un point précis : sur un graphique, c’est la pente de la courbe en ce point. On la note f′(x) ou d/dx. Pense à un compteur de vitesse : quand une voiture roule, la distance parcourue augmente, et l’aiguille montre à quelle vitesse elle augmente à cet instant précis.

Tous les niveaux de Dérivée

Exemple : la dérivée de 5x³ en x = 2

Fais descendre l’exposant 3 devant et multiplie-le par le 5 : cela donne 15.
Puis baisse l’exposant d’un cran, de 3 à 2 : la dérivée vaut 15x².
Remplace enfin x par 2 : 2² vaut 4 et 15 × 4 = 60, donc tu tapes 60.

Apprends-le pas à pas

Une dérivée mesure la vitesse à laquelle quelque chose change — la pente de la courbe en un point.

La règle de la puissance : d/dx de axⁿ vaut (a·n)·xⁿ⁻¹ — multiplie par l'exposant, puis abaisse l'exposant de un. Donc d/dx de 3x² vaut 6x ; en x = 2 ça fait 12.

Applique la règle, remplace par le point, et tape la pente.

Astuces et erreurs fréquentes

Pour une puissance, l’exposant baisse toujours d’exactement un : x⁴ donne un terme en x³, x² un terme en x, et un x seul donne un simple nombre.
Une erreur courante est de remplacer x trop tôt. Mets x = 2 dans 4x³ d’abord et tu obtiens 32, une constante dont la dérivée vaut 0. Dérive d’abord, remplace ensuite.
Avec un élève, trace y = x² sur papier et pose une règle contre la courbe en x = 1, 2 et 3. Elle s’incline davantage à chaque fois, comme les pentes 2, 4 et 6.

Comment jouer

Une manche typique affiche d/dx [4x³] en x=2, et tu tapes la valeur de la dérivée en ce point : 48. Aux niveaux des fonctions composées et des produits, tu tapes seulement le nombre placé devant : la dérivée de (3x + 1)⁵ est 15(3x + 1)⁴, donc tu tapes 15. Réponds juste avant ton rival et Brocoli attaque ; moins tu as mis de temps, plus le coup est lourd.

— Réponses express —

Dérivée : la FAQ éclair

Que veut dire d/dx ?: d/dx veut dire « dérivée par rapport à x » : c’est une consigne pour trouver à quelle vitesse ce qui suit change quand x change. Ainsi, d/dx [x³] = 3x², qui se lit « la dérivée de x au cube est trois x au carré ». Le d désigne une différence minuscule, et c’est pourquoi d/dx ressemble à une pente : une variation de hauteur divisée par une variation de x.
Comment dériver un polynôme ?: On dérive un polynôme terme par terme, en appliquant à chacun la formule des puissances. Dans 3x² + 4x + 6, 3x² devient 6x, 4x devient 4 et le 6 disparaît, car une constante ne change jamais. La dérivée est donc 6x + 4, et sa valeur en x = 2 est 6 × 2 + 4 = 16.
Comment retenir la dérivée d’un produit ?: Retiens la dérivée d’un produit comme un tour de rôle : on dérive le premier facteur pendant que le second attend, puis le second pendant que le premier attend, et on additionne les deux résultats. En symboles, (uv)′ = u′v + uv′. Vérifie-la sur x² · x³ : elle donne 2x · x³ + x² · 3x² = 5x⁴, exactement ce que donne la dérivée de x⁵.
Pourquoi je me trompe toujours en dérivant une fonction composée ?: La plupart des erreurs sur les fonctions composées viennent d’un oubli : l’intérieur de la parenthèse. Pour (2x + 7)⁵, descendre le 5 donne 5(2x + 7)⁴, mais l’intérieur, 2x + 7, varie lui aussi avec x, à un rythme de 2. Multiplie aussi par ce 2 : la dérivée vaut 10(2x + 7)⁴. Oublier la dérivée de l’intérieur est l’erreur classique.
Un prof de maths peut-il utiliser ce jeu sur les dérivées gratuitement ?: Oui, sans rien payer : les six niveaux tournent dans le navigateur de n’importe quel ordinateur portable ou tablette de l’établissement, sans compte ni téléchargement. Pour lancer un entraînement à la dérivation en classe, trace y = x² au tableau et demande aux groupes la pente entre x = 3 et x = 4, puis jusqu’à 3,5, puis jusqu’à 3,1. Ils trouvent 7, puis 6,5, puis 6,1, de plus en plus près de 6, la dérivée en 3. L’offre pour les écoles, facturée par élève, permet ensuite de suivre sur un tableau de bord les progrès de chaque élève.

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