Jeu de déterminants

Qu’est-ce qu’un déterminant ?

Un déterminant est un nombre unique calculé à partir d’une matrice carrée, c’est-à-dire un tableau qui a autant de lignes que de colonnes. On le note det A ou |A|. Pour une matrice 2×2, il indique de combien les aires sont étirées : un déterminant de 6 rend chaque figure six fois plus grande, un négatif la retourne en plus comme dans un miroir, et 0 l’aplatit complètement.

Exemple : le déterminant de [ 3 5 ; 8 1 ]

1. La matrice a 3 et 5 sur la ligne du haut, et 8 et 1 en dessous.
2. Multiplie la diagonale principale, 3 × 1 = 3, puis l’autre diagonale, 5 × 8 = 40.
3. Soustrais le second produit du premier : 3 − 40 = −37.
4. Le déterminant vaut −37, donc tu le tapes avec le signe moins devant.

Astuces et erreurs fréquentes

• Imagine la diagonale principale comme une pente qui descend du coin en haut à gauche au coin en bas à droite. Le produit de la descente d’abord, celui de la montée ensuite : on obtient toujours ad − bc.
• Une erreur fréquente consiste à multiplier le long des lignes au lieu des diagonales. Pour [ 2 7 ; 1 5 ], les lignes donnent 14 − 5 = 9, mais les diagonales donnent 10 − 7 = 3.
• Distribue quatre cartes numérotées dans une grille 2×2 et faites la course jusqu’au déterminant. Échangez ensuite les deux lignes : le résultat garde sa valeur absolue, mais change de signe.

— Réponses express —

Déterminant : la FAQ éclair

Que veut dire un déterminant égal à 0 ?

Un déterminant égal à 0 signifie que la matrice écrase le plan : toute figure perd alors son aire. Cela arrive quand une ligne est un multiple de l’autre. Dans [ 2 3 ; 4 6 ], la ligne du bas est le double de celle du haut, et 2 × 6 − 3 × 4 = 0. Une telle matrice n’a pas d’inverse, c’est-à-dire pas de matrice qui annulerait son effet.

Comment multiplier des matrices ?

Pour multiplier des matrices, on croise chaque ligne de la première avec chaque colonne de la seconde. Associe leurs coefficients, c’est-à-dire les nombres à l’intérieur, deux à deux, multiplie chaque paire et additionne les produits : cette somme est un coefficient du résultat. La ligne [3 4] avec la colonne [4; 2] donne 3 × 4 + 4 × 2 = 12 + 8 = 20. Le deuxième niveau demande exactement un de ces coefficients.

Pourquoi mon déterminant a-t-il le mauvais signe ?

Un mauvais signe veut presque toujours dire que les deux produits ont été soustraits dans le mauvais ordre. Le produit qui va du coin en haut à gauche au coin en bas à droite passe toujours en premier. Dans [ 4 9 ; 2 3 ], cela donne 12 − 18 = −6, un déterminant négatif. Si tu commences par l’autre diagonale, tu obtiens 6 : la bonne valeur absolue, mais le mauvais signe.

À quel âge apprend-on les déterminants ?

Dans beaucoup de systèmes scolaires, les déterminants 2×2 arrivent dans les dernières années du secondaire, et ailleurs ils attendent un premier cours d’algèbre linéaire à l’université. Ici, les niveaux de matrices vont de 15 à 17 ans. Si tu manies sans peine les nombres négatifs et les tables de multiplication, tu peux commencer tout de suite.

De quoi une classe a-t-elle besoin pour jouer aux déterminants, et est-ce gratuit ?

Une classe n’a besoin que d’un navigateur sur des ordinateurs portables, des tablettes ou des téléphones, et ce jeu d’algèbre linéaire est gratuit, sans compte ni installation. Pour s’entraîner au déterminant d’une matrice, projette un mois de calendrier au tableau et demande à chaque élève d’encadrer un bloc différent de 2×2 dates. Chaque bloc donne −7, comme le montre 3 × 11 − 4 × 10, et la classe peut prouver pourquoi avec de l’algèbre. Avec l’offre pour les écoles, facturée par élève, un tableau de bord montre à l’enseignant qui gagne en rapidité.