¿Qué indica el producto escalar de dos vectores?

El producto escalar indica con un solo número cuánto se alinean dos vectores: es el producto de sus dos módulos por el coseno del ángulo que forman. Es positivo si forman menos de 90°, vale 0 si forman un ángulo recto y es negativo si se abren más. Para ⟨2; 6⟩ y ⟨3; −1⟩ vale 2 × 3 + 6 × (−1) = 0, así que son perpendiculares. En el juego todas las componentes van del 1 al 9, por eso el producto siempre sale positivo.

¿Cómo se pasan coordenadas polares a cartesianas?

Para pasar a cartesianas, multiplica la longitud r por cos θ para obtener x y por sen θ para obtener y. Las coordenadas polares sitúan un punto con una distancia y un ángulo; las cartesianas, con un avance horizontal y otro vertical. Con r = 12 y θ = 30°, y = 12 × sen 30° = 12 × ½ = 6. El juego usa r pares y ángulos cuyo seno o coseno es 0, ½ o 1, a veces en negativo, así que el resultado sale entero.

¿Hay algún truco para calcular rápido el módulo de un vector?

El truco más rápido es reconocer la terna pitagórica que hay detrás del vector: tres números enteros en los que los cuadrados de los dos primeros suman el cuadrado del tercero. Todos los vectores del juego salen de solo cinco ternas, como 5, 12 y 13 u 8, 15 y 17, o de un múltiplo de alguna. Así, ⟨16; 12⟩ es ⟨4; 3⟩ cuatro veces, y su módulo es 4 × 5 = 20.

¿Por qué me sale negativa la componente x?

Una x negativa es la respuesta correcta siempre que el ángulo pasa de 90°, porque entonces la flecha apunta a la izquierda de su origen. Como cos 120° = −½, con r = 8 y θ = 120° sale x = 8 × (−½) = −4, y a 180° la x es la longitud entera con signo menos. Escríbela con la tecla del menos. Aquí la y nunca sale negativa, porque ningún ángulo pasa de 180°.

¿Este juego de matemáticas con vectores es gratis y cómo lo uso en clase?

Sí, los tres niveles de vectores son gratis en cualquier navegador, y nadie tiene que registrarse ni instalar nada. Para arrancar la clase, pregunta cuántas flechas con componentes enteras miden exactamente 13. Por parejas las buscan, como ⟨5; 12⟩ o ⟨−13; 0⟩, hasta dar con las 12; dibujadas desde un mismo punto, sus puntas forman una circunferencia. Con el plan para colegios, el docente paga por alumno y ve en un panel quién mejora.

Práctica de matemáticas · reinventada

Juego de vectores

Este juego de matemáticas con vectores te da flechas como pares, por ejemplo ⟨24; 7⟩, o como una longitud y un ángulo, y todas las respuestas son enteras, de −24 a 162. Llega primero y tu luchador golpea mientras tu rival sigue elevando al cuadrado y sumando.

De 4 a 99+ años · sin descargas · juega en tu navegador · 23 idiomas

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¿Qué es un vector?

Un vector es una cantidad con tamaño, dirección y sentido, que se dibuja como una flecha. Un viento de 20 km/h es solo una velocidad hasta que dices que sopla hacia el norte; entonces es un vector. Dos flechas son el mismo vector si miden lo mismo y apuntan en la misma dirección y sentido, empiecen donde empiecen.

Todos los niveles de Vectores

Ejemplo: el módulo de ⟨24; 7⟩

Las barras alrededor de ⟨24; 7⟩ piden su módulo, es decir, su longitud: la flecha avanza 24 en horizontal y sube 7.
Multiplica cada componente por sí misma: 24 × 24 = 576 y 7 × 7 = 49.
Suma los dos cuadrados, que dan 625, y busca el número que multiplicado por sí mismo da 625: es el 25.
La flecha mide 25, apenas más que sus 24 en horizontal, así que escribes 25.

Apréndelo paso a paso

Un vector ⟨x, y⟩ es una flecha: avanza x pasos a lo ancho y y pasos hacia arriba. Su módulo es simplemente cuán LARGA es esa flecha, medida en línea recta de inicio a punta.

Como el paso a lo ancho y el paso hacia arriba forman un ángulo recto, la flecha es la hipotenusa de un triángulo rectángulo, así que su longitud es √(x² + y²), el teorema de Pitágoras. Para ⟨3; 4⟩: √(9 + 16) = √25 = 5. (Están elegidos para que la longitud siempre salga un número entero).

Eleva al cuadrado cada parte, suma, saca la raíz cuadrada y escribe la longitud.

Consejos y errores frecuentes

Imagina θ = 0°: la flecha queda tumbada sobre el eje x, así que x es toda la longitud r. Como cos 0° = 1, la x va con el coseno y la y con el seno.
Un error frecuente es sumar las dos componentes: ⟨12; 9⟩ no mide 21, porque la flecha recta ataja por la diagonal. Lo correcto es 144 + 81 = 225, y √225 = 15.
Para practicar la suma de vectores, camina 6 baldosas, gira en ángulo recto y camina 8: ⟨6; 0⟩ + ⟨0; 8⟩ = ⟨6; 8⟩. Un cordel tendido hasta la salida mide 10 baldosas.

Cómo se juega

Los vectores llegan a la pantalla de tres formas: |⟨21; 20⟩| pide un módulo, 29; r=10, θ=120°, x=? pide −5, con la tecla del menos; y ⟨7; 2⟩ · ⟨3; 9⟩ pide un producto escalar, 39. Escribe cada número entero en el teclado antes que tu rival, y Chile golpea más fuerte cuanto antes llegue el tuyo.

— Respuestas rápidas —

Vectores: el FAQ exprés

¿Qué indica el producto escalar de dos vectores?: El producto escalar indica con un solo número cuánto se alinean dos vectores: es el producto de sus dos módulos por el coseno del ángulo que forman. Es positivo si forman menos de 90°, vale 0 si forman un ángulo recto y es negativo si se abren más. Para ⟨2; 6⟩ y ⟨3; −1⟩ vale 2 × 3 + 6 × (−1) = 0, así que son perpendiculares. En el juego todas las componentes van del 1 al 9, por eso el producto siempre sale positivo.
¿Cómo se pasan coordenadas polares a cartesianas?: Para pasar a cartesianas, multiplica la longitud r por cos θ para obtener x y por sen θ para obtener y. Las coordenadas polares sitúan un punto con una distancia y un ángulo; las cartesianas, con un avance horizontal y otro vertical. Con r = 12 y θ = 30°, y = 12 × sen 30° = 12 × ½ = 6. El juego usa r pares y ángulos cuyo seno o coseno es 0, ½ o 1, a veces en negativo, así que el resultado sale entero.
¿Hay algún truco para calcular rápido el módulo de un vector?: El truco más rápido es reconocer la terna pitagórica que hay detrás del vector: tres números enteros en los que los cuadrados de los dos primeros suman el cuadrado del tercero. Todos los vectores del juego salen de solo cinco ternas, como 5, 12 y 13 u 8, 15 y 17, o de un múltiplo de alguna. Así, ⟨16; 12⟩ es ⟨4; 3⟩ cuatro veces, y su módulo es 4 × 5 = 20.
¿Por qué me sale negativa la componente x?: Una x negativa es la respuesta correcta siempre que el ángulo pasa de 90°, porque entonces la flecha apunta a la izquierda de su origen. Como cos 120° = −½, con r = 8 y θ = 120° sale x = 8 × (−½) = −4, y a 180° la x es la longitud entera con signo menos. Escríbela con la tecla del menos. Aquí la y nunca sale negativa, porque ningún ángulo pasa de 180°.
¿Este juego de matemáticas con vectores es gratis y cómo lo uso en clase?: Sí, los tres niveles de vectores son gratis en cualquier navegador, y nadie tiene que registrarse ni instalar nada. Para arrancar la clase, pregunta cuántas flechas con componentes enteras miden exactamente 13. Por parejas las buscan, como ⟨5; 12⟩ o ⟨−13; 0⟩, hasta dar con las 12; dibujadas desde un mismo punto, sus puntas forman una circunferencia. Con el plan para colegios, el docente paga por alumno y ve en un panel quién mejora.

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