d/dx bedeutet „Ableitung nach x“: Es ist die Aufforderung herauszufinden, wie schnell sich der folgende Ausdruck ändert, wenn sich x ändert. So ist d/dx [x³] = 3x², gelesen „die Ableitung von x hoch drei ist drei x Quadrat“. Das d steht für eine winzige Differenz, deshalb erinnert d/dx an eine Steigung: Höhenänderung geteilt durch Änderung von x.

Wie leitet man ein Polynom ab?

Ein Polynom leitest du Summand für Summand ab, mit der Potenzregel für jeden einzelnen. Bei 3x² + 4x + 6 wird 3x² zu 6x, 4x wird zu 4, und die 6 fällt weg, weil sich eine Konstante nie ändert. Die Ableitung ist also 6x + 4, und ihr Wert bei x = 2 ist 6 · 2 + 4 = 16.

Wie merkt man sich die Produktregel?

Merk dir die Produktregel als Abwechseln: Du leitest den ersten Faktor ab, während der zweite wartet, dann den zweiten, während der erste wartet, und addierst beide Ergebnisse. In Symbolen: (fg)′ = f′g + fg′. Prüf sie an x² · x³: Sie ergibt 2x · x³ + x² · 3x² = 5x⁴, genau das, was du erhältst, wenn du x⁵ direkt ableitest.

Warum mache ich bei der Kettenregel immer Fehler?

Die meisten Fehler bei der Kettenregel entstehen, weil das Innere der Klammer vergessen wird. Bei (2x + 7)⁵ ergibt das Herunterholen der 5 zunächst 5(2x + 7)⁴, aber das Innere, 2x + 7, ändert sich ebenfalls mit x, und zwar doppelt so schnell wie x. Multipliziere auch mit dieser 2, dann lautet die Ableitung 10(2x + 7)⁴. Die innere Ableitung wegzulassen ist der klassische Fehler.

Kann eine Mathelehrkraft dieses Spiel zu Ableitungen kostenlos nutzen?

Ja, und zwar ohne jede Gebühr: Alle sechs Levels laufen im Browser jedes Schullaptops oder Tablets, ohne Konten und ohne Download. Zum Einstieg ins Ableiten zeichnest du y = x² an die Tafel und lässt Gruppen die Steigung zwischen x = 3 und x = 4 berechnen, dann bis 3,5 und dann bis 3,1. Sie erhalten 7, dann 6,5 und dann 6,1 und nähern sich 6, der Ableitung bei 3. Mit dem Schulplan, abgerechnet pro Schüler, zeigt ein Dashboard für Lehrkräfte, wer Fortschritte macht.

Matheübung · neu gedacht

Ableitungen Spiel

Dieses Spiel zu Ableitungen reicht von der Potenzregel bei x = 2 bis zu partiellen Ableitungen, und jede Antwort ist eine ganze Zahl von 2 bis 200, nie eine Formel. Leite schneller ab als dein Gegner, und dein Kämpfer schlägt zu, während der andere noch Exponenten nach vorn holt.

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Was ist eine Ableitung?

Die Ableitung gibt an, wie schnell sich eine Funktion an einer bestimmten Stelle ändert; im Graphen ist sie die Steigung der Kurve an dieser Stelle. Man schreibt sie als f′(x) oder d/dx. Denk an einen Tacho: Während ein Auto fährt, wächst die zurückgelegte Strecke, und die Nadel zeigt, wie schnell sie genau in diesem Moment wächst.

Alle Stufen von Ableitung

Beispiel: die Ableitung von 5x³ bei x = 2

Hol den Exponenten 3 nach vorn und multipliziere ihn mit der 5: Das ergibt 15.
Dann senkst du den Exponenten um eins, von 3 auf 2, also lautet die Ableitung 15x².
Jetzt setzt du x = 2 ein: 2² ist 4, und 15 · 4 = 60, also tippst du 60.

Schritt für Schritt lernen

Eine Ableitung misst, wie schnell sich etwas ändert — die Steilheit der Kurve an einem Punkt.

Die Potenzregel: d/dx von axⁿ ist (a·n)·xⁿ⁻¹ — multipliziere mit dem Exponenten, dann senke den Exponenten um eins. Also ist d/dx von 3x² gleich 6x; bei x = 2 sind das 12.

Wende die Regel an, setze den Punkt ein und tipp die Steigung ein.

Tipps und häufige Fehler

Bei der Potenzregel sinkt der Exponent immer um genau eins: Aus x⁴ wird ein x³-Term, aus x² ein x-Term und aus einem einzelnen x eine bloße Zahl.
Ein häufiger Fehler ist, zu früh einzusetzen. Setzt du x = 2 zuerst in 4x³ ein, erhältst du 32, eine Konstante mit der Ableitung 0. Erst ableiten, dann einsetzen.
Zeichne mit einem Lernenden y = x² auf Papier und lege bei x = 1, 2 und 3 ein Lineal an die Kurve. Es wird jedes Mal steiler, passend zu den Steigungen 2, 4 und 6.

So wird gespielt

Eine typische Runde zeigt d/dx [4x³] bei x=2, und du tippst den Wert der Ableitung an dieser Stelle ein: 48. In den Levels zur Ketten- und Produktregel tippst du nur die Zahl davor: (3x + 1)⁵ abgeleitet ergibt 15(3x + 1)⁴, also tippst du 15. Bist du richtig und schneller als dein Gegner, greift Brokkoli an, und je weniger Zeit du brauchst, desto härter der Treffer.

— Kurze Antworten —

Ableitung: das kurze FAQ

Was bedeutet d/dx?: d/dx bedeutet „Ableitung nach x“: Es ist die Aufforderung herauszufinden, wie schnell sich der folgende Ausdruck ändert, wenn sich x ändert. So ist d/dx [x³] = 3x², gelesen „die Ableitung von x hoch drei ist drei x Quadrat“. Das d steht für eine winzige Differenz, deshalb erinnert d/dx an eine Steigung: Höhenänderung geteilt durch Änderung von x.
Wie leitet man ein Polynom ab?: Ein Polynom leitest du Summand für Summand ab, mit der Potenzregel für jeden einzelnen. Bei 3x² + 4x + 6 wird 3x² zu 6x, 4x wird zu 4, und die 6 fällt weg, weil sich eine Konstante nie ändert. Die Ableitung ist also 6x + 4, und ihr Wert bei x = 2 ist 6 · 2 + 4 = 16.
Wie merkt man sich die Produktregel?: Merk dir die Produktregel als Abwechseln: Du leitest den ersten Faktor ab, während der zweite wartet, dann den zweiten, während der erste wartet, und addierst beide Ergebnisse. In Symbolen: (fg)′ = f′g + fg′. Prüf sie an x² · x³: Sie ergibt 2x · x³ + x² · 3x² = 5x⁴, genau das, was du erhältst, wenn du x⁵ direkt ableitest.
Warum mache ich bei der Kettenregel immer Fehler?: Die meisten Fehler bei der Kettenregel entstehen, weil das Innere der Klammer vergessen wird. Bei (2x + 7)⁵ ergibt das Herunterholen der 5 zunächst 5(2x + 7)⁴, aber das Innere, 2x + 7, ändert sich ebenfalls mit x, und zwar doppelt so schnell wie x. Multipliziere auch mit dieser 2, dann lautet die Ableitung 10(2x + 7)⁴. Die innere Ableitung wegzulassen ist der klassische Fehler.
Kann eine Mathelehrkraft dieses Spiel zu Ableitungen kostenlos nutzen?: Ja, und zwar ohne jede Gebühr: Alle sechs Levels laufen im Browser jedes Schullaptops oder Tablets, ohne Konten und ohne Download. Zum Einstieg ins Ableiten zeichnest du y = x² an die Tafel und lässt Gruppen die Steigung zwischen x = 3 und x = 4 berechnen, dann bis 3,5 und dann bis 3,1. Sie erhalten 7, dann 6,5 und dann 6,1 und nähern sich 6, der Ableitung bei 3. Mit dem Schulplan, abgerechnet pro Schüler, zeigt ein Dashboard für Lehrkräfte, wer Fortschritte macht.

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