Was ist der Unterschied zwischen Permutation und Kombination?

Der Unterschied liegt darin, ob das Vertauschen zweier gewählter Dinge ein neues Ergebnis ergibt. Bei einer Permutation ja, wie bei einem Türcode, wo 1-2-3 und 3-2-1 zwei verschiedene Codes sind. Bei einer Kombination nein, wie bei den Spielkarten auf deiner Hand. Aus 4 Buchstaben gibt es ₄P₃ = 24, aber ₄C₃ = 4, weil sich jede Gruppe aus 3 Buchstaben in 6 Reihenfolgen legen lässt.

Wie berechnet man Kombinationen ohne Taschenrechner?

Zähl die geordneten Auswahlen und teile durch die Zahl der Reihenfolgen jeder Gruppe. Für ₇C₃ gibt es 7 × 6 × 5 = 210 geordnete Auswahlen von dreien. Jede Dreiergruppe lässt sich auf 3 × 2 × 1 = 6 Arten ordnen, also ist ₇C₃ = 210 : 6 = 35. Schneller geht es mit Kürzen vorab: Die 6 oben kürzt sich mit der 6 unten, und es bleibt 7 × 5 = 35.

Gibt es einen Trick für den Binomialkoeffizienten?

Ja, das Pascalsche Dreieck enthält alle Kombinationen. Oben steht eine 1, und jede neue Zahl ist die Summe der beiden darüber. Zeile 6, wenn die oberste Zeile die Zeile 0 ist, lautet 1, 6, 15, 20, 15, 6 und 1, also ist ₆C₃ = 20, gelesen „6 über 3“. Die Zeile ist symmetrisch, daher ₆C₄ = ₆C₂ = 15: 4 zum Behalten zu wählen heißt, 2 zum Weglassen zu wählen.

Warum verwechseln Schüler Permutationen und Kombinationen?

Schüler verwechseln sie, weil die beiden Fragen oft ähnlich klingen und der Aufgabentext nicht immer sagt, ob die Reihenfolge zählt. Ein kleiner Fall schafft Klarheit. Aus A, B und C sind die Paare AB, AC und BC, also ₃C₂ = 3. Die geordneten Auswahlen sind diese drei plus BA, CA und CB, also ₃P₂ = 6. Beide Listen nebeneinander zu sehen, macht den Unterschied greifbar.

Gibt es einen kostenlosen Weg, Kombinatorik in den Unterricht zu holen?

Den gibt es: Alle drei Level, das gemischte Olympia-Level eingeschlossen, öffnen sich kostenlos in jedem Browser, ohne Schülerkonten und ohne Installation. Zum Abzählen an der Tafel holst du 5 Freiwillige nach vorn und fragst, wie viele Dreierausschüsse sie bilden könnten. Dann fragst du, auf wie viele Arten sie Vorsitz, Schriftführung und Kasse verteilen könnten. Die Antworten, 10 und 60, zeigen, dass jeder Ausschuss 6 Reihenfolgen hat. Im Schulplan, pro Schüler abgerechnet, zeigt ein Dashboard der Lehrkraft, wer in der Kombinatorik vorankommt.

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In dieser Kombinatorik-Challenge wählst du nie aus mehr als 8 Dingen, und trotzdem reichen die Antworten von 4 bis 1680, dem Wert von ₈P₄ auf dem Olympia-Level. Löse jede Zählung vor deinem Gegner, und jeder Treffer wird zum Schlag deines Kämpfers.

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Was sind Permutationen und Kombinationen?

Permutationen und Kombinationen sind zwei Arten, Auswahlen zu zählen, ohne sie alle aufzuschreiben. Eine Kombination ist eine Gruppe, bei der die Reihenfolge egal ist: Apfel und Birne sind dasselbe Paar wie Birne und Apfel. Eine Permutation von k aus n Dingen, oft auch Variation genannt, ist eine geordnete Reihe: Erst den Apfel und dann die Birne zu essen, ist etwas anderes als umgekehrt.

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Beispiel: Wie viele Paare kannst du aus 6 bilden?

Das Symbol ₆C₂ fragt, wie viele verschiedene Paare du aus 6 Dingen wählen kannst, wenn die Reihenfolge egal ist.
Wählst du der Reihe nach, hast du 6 Möglichkeiten für das erste Ding und 5 für das zweite: 6 × 5 = 30 geordnete Auswahlen.
Jedes Paar wurde doppelt gezählt, einmal als A dann B und einmal als B dann A, also nimmst du die Hälfte von 30 und tippst 15.

Schritt für Schritt lernen

nCk zählt, auf wie viele Arten man k Dinge aus n AUSWÄHLT, wenn die Reihenfolge egal ist — wie bei der Teamwahl, wo es keinen Unterschied macht, wer zuerst genannt wird.

5C2 („2 aus 5 wählen“) = 10. Die Formel ist n! : (k! × (n−k)!), aber die Idee ist einfach: wie viele verschiedene Gruppen kannst du bilden?

Tipp die Anzahl der möglichen Gruppen ein.

Tipps und häufige Fehler

Bei ₆P₃ sagt dir die kleine 3, wie viele Zahlen du multiplizierst, abwärts ab 6: 6 × 5 × 4 = 120. Hör dort auf, nicht erst bei 1.
Ein häufiger Fehler ist, bei einer Kombination beide Reihenfolgen zu zählen. Wer bei ₄C₂ AB und BA getrennt notiert, kommt auf 12; streich die Doppelten, dann bleiben 6 Paare.
Frag beim Familienessen, wie viele Handschläge es gibt, wenn jede Person alle anderen genau einmal begrüßt. Sieben Leute kommen auf 21, also ₇C₂, und jeder neue Gast bringt mehr.

So wird gespielt

Jede Runde zeigt ein Symbol wie ₇C₃ oder ₄P₂: Die kleine Zahl links sagt, wie viele Dinge es gibt, die rechts, wie viele du auswählst. Tipp das Ergebnis auf dem Ziffernfeld ein und schau vorher auf den Buchstaben, denn das Olympia-Level mischt C und P. Nur die erste richtige Antwort trifft, und Brokkoli schlägt umso härter zu, je früher sie kommt.

— Kurze Antworten —

Kombinatorik: das kurze FAQ

Was ist der Unterschied zwischen Permutation und Kombination?: Der Unterschied liegt darin, ob das Vertauschen zweier gewählter Dinge ein neues Ergebnis ergibt. Bei einer Permutation ja, wie bei einem Türcode, wo 1-2-3 und 3-2-1 zwei verschiedene Codes sind. Bei einer Kombination nein, wie bei den Spielkarten auf deiner Hand. Aus 4 Buchstaben gibt es ₄P₃ = 24, aber ₄C₃ = 4, weil sich jede Gruppe aus 3 Buchstaben in 6 Reihenfolgen legen lässt.
Wie berechnet man Kombinationen ohne Taschenrechner?: Zähl die geordneten Auswahlen und teile durch die Zahl der Reihenfolgen jeder Gruppe. Für ₇C₃ gibt es 7 × 6 × 5 = 210 geordnete Auswahlen von dreien. Jede Dreiergruppe lässt sich auf 3 × 2 × 1 = 6 Arten ordnen, also ist ₇C₃ = 210 : 6 = 35. Schneller geht es mit Kürzen vorab: Die 6 oben kürzt sich mit der 6 unten, und es bleibt 7 × 5 = 35.
Gibt es einen Trick für den Binomialkoeffizienten?: Ja, das Pascalsche Dreieck enthält alle Kombinationen. Oben steht eine 1, und jede neue Zahl ist die Summe der beiden darüber. Zeile 6, wenn die oberste Zeile die Zeile 0 ist, lautet 1, 6, 15, 20, 15, 6 und 1, also ist ₆C₃ = 20, gelesen „6 über 3“. Die Zeile ist symmetrisch, daher ₆C₄ = ₆C₂ = 15: 4 zum Behalten zu wählen heißt, 2 zum Weglassen zu wählen.
Warum verwechseln Schüler Permutationen und Kombinationen?: Schüler verwechseln sie, weil die beiden Fragen oft ähnlich klingen und der Aufgabentext nicht immer sagt, ob die Reihenfolge zählt. Ein kleiner Fall schafft Klarheit. Aus A, B und C sind die Paare AB, AC und BC, also ₃C₂ = 3. Die geordneten Auswahlen sind diese drei plus BA, CA und CB, also ₃P₂ = 6. Beide Listen nebeneinander zu sehen, macht den Unterschied greifbar.
Gibt es einen kostenlosen Weg, Kombinatorik in den Unterricht zu holen?: Den gibt es: Alle drei Level, das gemischte Olympia-Level eingeschlossen, öffnen sich kostenlos in jedem Browser, ohne Schülerkonten und ohne Installation. Zum Abzählen an der Tafel holst du 5 Freiwillige nach vorn und fragst, wie viele Dreierausschüsse sie bilden könnten. Dann fragst du, auf wie viele Arten sie Vorsitz, Schriftführung und Kasse verteilen könnten. Die Antworten, 10 und 60, zeigen, dass jeder Ausschuss 6 Reihenfolgen hat. Im Schulplan, pro Schüler abgerechnet, zeigt ein Dashboard der Lehrkraft, wer in der Kombinatorik vorankommt.

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