Ligningen for en ret linje y = ax + b forklaret trin for trin

Hvorfor y = ax + b er så nyttig

Når en ligning står på denne form, kan du aflæse hældningen og startpunktet direkte og skitsere linjen på få sekunder. Herunder kan du se, hvordan du aflæser den, hvordan du finder den ud fra to punkter eller fra en anden form, og hvilke fejl der oftest snyder.

Hvordan finder man ligningen y = ax + b?

For at finde ligningen skal du bruge to ting, hældningskoefficienten a og skæringen med y-aksen b. Hældningen finder du ud fra to punkter med a = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁). Sæt derefter et punkt og hældningen ind i y = ax + b, og løs for b. Skriv resultatet med dine tal i stedet for a og b.

Eksempel

Find linjen gennem punkterne (1, 5) og (3, 9).

1. Hældning: a = (9 − 5) : (3 − 1) = 4 : 2 = 2
2. Brug punktet (1, 5): 5 = 2 · 1 + b, så b = 3
3. Ligning: y = 2x + 3
4. Kontrol med det andet punkt (3, 9): 2 · 3 + 3 = 9. Det passer.

Den sidste kontrol tager ti sekunder og fanger de fleste fejl, så det er en god vane at lave den.

Hvad hvis hældningen er en brøk?

Brøker er helt normale her, og en brøk betyder ikke, at du har regnet forkert. Tag punkterne (4, 0) og (−2, 4). Hældningen er (4 − 0) : (−2 − 4) = 4 : (−6) = −2/3. Så giver 0 = −2/3 · 4 + b, at b = 8/3, altså y = −2/3x + 8/3. Kontrol med (−2, 4): 4/3 + 8/3 = 12/3 = 4.

Behold hældningen som brøk i stedet for et afrundet decimaltal, for brøken er præcis, og kontrollen går helt op. Hvis det er brøkerne, der sinker dig, gør et par runder af brøkspillet det meget hurtigere at forlænge og forkorte brøker.

I runden ovenfor er 7/10 = 70/100, fordi både tæller og nævner ganges med 10.

Hvad betyder a og b i y = ax + b?

I y = ax + b er a hældningskoefficienten og b skæringen med y-aksen. Hældningen fortæller, hvor meget y ændrer sig, når x vokser med 1. Skæringen med y-aksen er værdien af y, når x = 0, altså punktet (0, b), hvor linjen krydser y-aksen.

Eksempel

I y = 3x − 2 er hældningen 3, og skæringen med y-aksen er −2. Linjen skærer y-aksen i (0, −2), og for hvert skridt på 1 til højre går den 3 op. I y = −2x + 4 er hældningen −2, så linjen går 2 ned for hvert skridt til højre, og den skærer y-aksen i (0, 4).

Lærebogen OpenStax College Algebra 2e (på engelsk) beskriver hældningen som "rise over run", altså stigning delt med vandret skridt, og skæringen med y-aksen som punktet, hvor inputværdien er nul. En positiv hældning stiger fra venstre mod højre, en negativ falder, og jo større tallet er (uden fortegn), jo stejlere er linjen.

Et eksempel fra hverdagen

Et stearinlys er 20 cm højt og brænder 2 cm ned hver time. Højden efter t timer er h = −2t + 20. Tallet 20 er startværdien (b), og −2 er ændringen hver time (a). Efter 3 timer er det 14 cm højt, og efter 10 timer er det væk. Mange elever synes, det er lettere at tænke på b som startværdien og a som ændringen pr. skridt.

Hvordan tegner man en linje ud fra y = ax + b?

For at tegne y = ax + b starter du i skæringspunktet (0, b) på y-aksen. Derfra bruger du hældningen. Gå 1 til højre og a op (eller ned, hvis a er negativ) for at finde et punkt mere. Tegn en ret linje gennem begge punkter, og forlæng den.

Eksempel

Tegn y = 2x + 1.

1. Afsæt skæringspunktet (0, 1).
2. Hældningen 2 betyder 2/1, så gå 1 til højre og 2 op. Så lander du i (1, 3).
3. Tegn linjen gennem (0, 1) og (1, 3).

Ved en hældning som −2/3 går du 3 til højre og 2 ned. Når du bruger nævneren som det vandrette skridt, bliver du på gitterpunkterne, og linjen bliver lettere at tegne præcist.

Hvordan omskriver man Ax + By = C til y = ax + b?

For at omskrive en ligning som Ax + By = C til formen y = ax + b skal du isolere y. Flyt x-leddet over på den anden side, og divider så hvert led med tallet foran y. Tallet foran x er nu hældningen, og tallet, der står alene, er skæringen med y-aksen.

Eksempel

Omskriv 2x + 3y = 6.

1. Træk 2x fra på begge sider: 3y = −2x + 6
2. Divider hvert led med 3: y = −2/3x + 2

Hældningen er −2/3, og skæringen med y-aksen er 2. En hyppig fejl er at aflæse hældningen som 2 direkte i 2x + 3y = 6. Tallene betyder først hældning og skæring, når y står alene på den ene side.

Ligningen gennem et punkt eller y = ax + b?

Ligningen for en linje gennem et punkt, y − y₁ = a(x − x₁), er praktisk, når du kender et punkt og hældningen, for du kan skrive den op med det samme. For punktet (1, 5) og hældningen 2 får du y − 5 = 2(x − 1). Gang parentesen ud og reducer, y = 2x − 2 + 5, og du er tilbage ved y = 2x + 3. Begge former beskriver den samme linje.

Hvilke linjer kan ikke skrives som y = ax + b?

Lodrette linjer kan ikke skrives som y = ax + b. Alle punkter på en lodret linje har samme x, så det vandrette skridt er 0, og hældningen ville kræve division med nul. Derfor er hældningen for en lodret linje ikke defineret. En lodret linje gennem x = 3 skrives ganske enkelt x = 3.

Eksempel

Punkterne (3, 1) og (3, 6) ligger på en lodret linje. Hældningen ville være (6 − 1) : (3 − 3) = 5 : 0, og det har intet resultat. Linjen er derfor x = 3. En lodret linje skærer heller aldrig y-aksen, medmindre den er selve y-aksen, så der er ingen skæring at sætte ind i stedet for b.

Vandrette linjer er ikke noget problem. Punkterne (−1, 4) og (5, 4) giver en hældning på 0 : 6 = 0, så linjen er y = 0x + 4, altså bare y = 4.

Hvad er de mest almindelige fejl med y = ax + b?

De fleste fejl med y = ax + b er små sjuskefejl og ikke misforståelser. Man bytter om på koordinaterne i et punkt, trækker fra i forskellig rækkefølge i tæller og nævner i hældningsformlen, eller aflæser a og b, før y står alene. Hvis du kontrollerer den færdige ligning med et af de oprindelige punkter, fanger du næsten dem alle.

Hurtige løsninger på hver sjuskefejl

Her er de fejl, der dukker op igen og igen, med en hurtig løsning til hver.

• At bytte om på x og y i et punkt. (5, 7) betyder x = 5 og y = 7. Sig "først hen, så op", mens du læser det.
• At ændre rækkefølgen i subtraktionen. Regner du 9 − 5 i tælleren, så regn 3 − 1 i nævneren, med det samme punkt først begge gange.
• At bytte om på a og b. I y = 4 + 3x er hældningen stadig 3, fordi a er tallet foran x, uanset hvor det står.
• At glemme et minus. I y = −x + 2 er hældningen −1, ikke 1.
• At tro, at en brøk må være forkert. Hældninger som 3/4 eller −2/3 er lige så gyldige som 2.

Øv y = ax + b, til det kører helt af sig selv

Man bliver hurtig til at aflæse linjer ved at se mange af dem. I spillet om lineære funktioner er hvert angreb et spørgsmål om en linje, så du får masser af øvelse i at spotte hældninger og skæringer, uden at det føles som lektier.

At løse for b er desuden bare en lille ligning i ét trin. Hvis det er der, du går i stå, er ligningsspillet en god opvarmning.

Bogstaverne er forskellige fra land til land. I Danmark skriver man y = ax + b (eller f(x) = ax + b), ligesom i Norge, Frankrig og Polen. Engelsktalende lande skriver y = mx + b, i Sverige skriver man y = kx + m, i Rusland y = kx + b og i Italien y = mx + q. Uanset bogstaverne er tallet foran x altid hældningen, og tallet, der står alene, er der, hvor linjen skærer y-aksen.

To tal beskriver enhver linje, der ikke er lodret

Enhver linje, der ikke er lodret, kan skrives som y = ax + b, så to tal er nok til at beskrive den fuldstændigt. Hældningen fortæller, hvor stejl den er, og hvilken vej den går, og skæringen med y-aksen fortæller, hvor den starter. Find de to tal, kontroller din ligning med et punkt, og resten følger.