تحويل العدد العشري إلى كسر (بما فيه الأعداد العشرية الدورية)

كل عدد عشري منتهٍ، وكل عدد عشري يتكرر إلى ما لا نهاية، يمكن كتابته على صورة كسر. تحويل العدد العشري إلى كسر يتطلب ثلاث خطوات قصيرة في معظم الأعداد، مع حيلة إضافية واحدة للأعداد العشرية الدورية مثل 0.333…. ستجد أدناه الطريقتين، وقائمة بالأعداد العشرية التي تستحق أن تعرفها عن ظهر قلب، والأخطاء التي يقع فيها الناس أكثر من غيرها.

كيف تحوّل العدد العشري إلى كسر؟

لتحوّل العدد العشري إلى كسر، اكتب الأرقام الواقعة بعد الفاصلة العشرية فوق 10 أو 100 أو 1,000، بحسب عدد المنازل العشرية. منزلة عشرية واحدة تُكتب فوق 10، ومنزلتان فوق 100، وثلاث منازل فوق 1,000. ثم بسّط الكسر بقسمة البسط والمقام على العدد نفسه.

مثال

حوّل 0.75 إلى كسر.

1. عُدّ المنازل العشرية. في 0.75 منزلتان، إذن المقام 100.
2. اكتب الأرقام فوقه. 0.75 = 75/100.
3. بسّط. العددان 75 و100 يقبلان القسمة على 25، فتحصل على 3/4.

إذن 0.75 = 3/4. وللتحقق السريع، اقسم 3 على 4 على الورق أو بالآلة الحاسبة. ستحصل على 0.75 من جديد.

كم يساوي 2.5 على صورة كسر؟

في 2.5 منزلة عشرية واحدة، فيصبح 25/10. والعددان يقبلان القسمة على 5، فتحصل على 5/2. ويمكنك أيضًا أن تُبقي الجزء الصحيح منفصلًا. يبقى 2 كما هو، ويصبح 0.5 هو 5/10، الذي يُبسَّط إلى 1/2. إذن 2.5 = 5/2 = 2 1/2.

كم يساوي 0.125 على صورة كسر؟

في 0.125 ثلاث منازل عشرية، فيصبح 125/1,000. والعددان يقبلان القسمة على 125، فتحصل على 1/8. هذا الكسر يستحق أن تتذكره، لأن الأثمان تظهر كثيرًا في الوصفات والقياسات والتمارين المدرسية.

هل يجب أن تكون الإجابة عددًا كسريًا أم كسرًا غير فعلي؟

كلاهما صحيح. يمكن كتابة 1.25 على صورة 5/4 (كسر غير فعلي، بسطه أكبر من مقامه) أو على صورة 1 1/4 (عدد كسري، فيه جزء صحيح وكسر). المعلمون في بعض الأماكن يفضّلون صورة واحدة، لذلك تحقّق مما يطلبه التمرين. وللتحويل بينهما، 5/4 تعني أربعة أرباع (واحدًا صحيحًا) وربعًا آخر.

كيف تبسّط الكسر؟

لتبسّط الكسر، اقسم البسط والمقام على أكبر عدد يقسم كليهما، ويُسمى القاسم المشترك الأكبر. إذا لم تره مباشرة، فاقسم على أعداد صغيرة مثل 2 أو 5 أو 10 مرة بعد مرة حتى لا يبقى عدد آخر يقسم كليهما. ويكون الكسر في أبسط صورة عندما يكون العدد الوحيد الذي يقسم كليهما هو 1.

مثال

حوّل 0.36. فيه منزلتان عشريتان، فيبدأ على صورة 36/100. والعددان يقبلان القسمة على 4، فتحصل على 9/25. والآن ليس للعددين 9 و25 قاسم مشترك غير 1، إذن 9/25 هي أبسط صورة.

ويمكنك أيضًا أن تتقدم بخطوات أصغر. 36/100 مقسومًا على 2 يساوي 18/50، ومقسومًا على 2 مرة أخرى يساوي 9/25. وتصل إلى النتيجة نفسها. إيجاد القاسم المشترك الأكبر بسرعة مهارة قائمة بذاتها، ولعبة القاسم المشترك الأكبر تحوّلها إلى تحدٍّ سريع. وهي تمهيد جيد قبل تمارين الكسور الأطول.

ما الأعداد العشرية التي تستحق أن تعرفها عن ظهر قلب؟

مجموعة صغيرة من الأعداد العشرية تتكرر مرة بعد مرة، ومعرفة الكسور المقابلة لها توفّر الوقت. ومنها الأنصاف والأرباع والأخماس والأثمان، إضافة إلى الأعداد العشرية الدورية للأثلاث. وعندما تحفظها، تستطيع غالبًا أن تحوّل العدد العشري في ذهنك من غير أن تكتب شيئًا.

• 0.1 = 1/10
• 0.2 = 1/5
• 0.25 = 1/4
• 0.4 = 2/5
• 0.5 = 1/2
• 0.6 = 3/5
• 0.75 = 3/4
• 0.8 = 4/5
• 0.125 = 1/8
• 0.375 = 3/8
• 0.625 = 5/8
• 0.875 = 7/8
• 0.333… = 1/3
• 0.666… = 2/3
• 0.1666… = 1/6
• 0.111… = 1/9

مثال

كم يساوي 0.625؟ إذا كنت تعرف أن 0.125 = 1/8، فإن 0.625 يساوي خمسة أضعافه، إذن هو 5/8. المعلومات التي تعرفها بهذا الشكل تساعدك على بناء معلومات جديدة. والانتقال بين الصورتين يصبح أسرع بكثير مع الاستخدام المنتظم، وجولات قصيرة من لعبة الأعداد العشرية أو لعبة الكسور طريقة ممتعة لبناء هذه السرعة. حتى بضع دقائق في اليوم تجعل القائمة أعلاه مألوفة.

كيف تحوّل العدد العشري الدوري إلى كسر؟

في العدد العشري الذي تتكرر فيه الأرقام نفسها مباشرة بعد الفاصلة العشرية، اكتب الجزء المتكرر فوق عدد من التسعات يساوي عدد أرقامه. رقم متكرر واحد يُكتب فوق 9، ورقمان فوق 99، وثلاثة أرقام فوق 999. ثم بسّط. إذن 0.777… = 7/9، و0.272727… = 27/99، الذي يُبسَّط إلى 3/11.

مثال

حوّل 0.454545… إلى كسر. الجزء المتكرر هو 45، وفيه رقمان، فيُكتب فوق 99. فتحصل على 45/99. والعددان يقبلان القسمة على 9، إذن الإجابة 5/11. ويمكنك التحقق بقسمة 5 على 11، فتحصل على 0.454545… من جديد.

عندما يبدأ التكرار متأخرًا، كما في 0.1666…، تحتاج قاعدة التسعات إلى خطوة إضافية. وهناك طريقة تنجح دائمًا وتستخدم قليلًا من الجبر:

1. سمِّ العدد x. إذن x = 0.1666…
2. اضرب في 10 لتنقل الرقم غير المتكرر أمام الفاصلة. 10x = 1.666…
3. اضرب في 100 لتنقل دورة تكرار كاملة أيضًا. 100x = 16.666…
4. اطرح السطر الثاني من السطر الثالث. تُلغي الأجزاء المتكررة بعضها بعضًا. 90x = 15.
5. اقسم. x = 15/90، الذي يُبسَّط إلى 1/6.

هل 0.333 يساوي 1/3؟

لا. العدد 0.333 بثلاثة أرقام فقط يساوي 333/1,000، وهو أقل من 1/3 بقدر ضئيل جدًا. وحده 0.333…، الذي تستمر فيه الأرقام 3 إلى ما لا نهاية، يساوي 1/3 تمامًا. وعندما تكتب عددًا عشريًا دوريًا، بيّن أنه يتكرر بثلاث نقاط أو بخط فوق الأرقام المتكررة. وإلا فهو عدد مختلف.

لماذا يساوي 0.999… العدد 1؟

هذا يفاجئ كثيرًا من الناس. ابدأ من 1/3 = 0.333…. اضرب الطرفين في 3. في الطرف الأيسر تحصل على 3/3، أي 1. وفي الطرف الأيمن تحصل على 0.999…. إذن 0.999… = 1. وقاعدة التسعات توافق على ذلك، لأن 0.999… = 9/9 = 1. إنه ليس عددًا أصغر من 1 بقليل، بل طريقة أخرى لكتابة 1.

ما الأخطاء التي يقع فيها الناس عند تحويل الأعداد العشرية إلى كسور؟

أكثر الأخطاء شيوعًا هي استخدام عدد خاطئ من الأصفار في المقام، ونسيان التبسيط، وإضاعة الجزء الصحيح، ومعاملة العدد العشري المقطوع كأنه دوري. ويسهل اكتشاف كل منها إذا تحققت من إجابتك بقسمة البسط على المقام.

مثال

يحوّل متعلم العدد 0.05 فيكتب 5/10. لكن هذا يساوي 0.5، أي أكبر بعشر مرات. في 0.05 منزلتان عشريتان، فيُكتب فوق 100. والإجابة الصحيحة 5/100، الذي يُبسَّط إلى 1/20.

انتبه لما يلي:

1. قوة 10 الخاطئة. عُدّ كل رقم بعد الفاصلة، بما فيها الأصفار. في 0.05 منزلتان لا منزلة واحدة.
2. عدم التبسيط. 75/100 صحيح لكنه غير مكتمل. والإجابة المتوقعة 3/4.
3. إسقاط الجزء الصحيح. 3.2 يساوي 3 2/10، الذي يُبسَّط إلى 3 1/5، أو 16/5. وليس 2/10.
4. قطع العدد العشري الدوري. 0.66 يساوي 66/100 = 33/50، بينما 0.666… يساوي 2/3.

ما الكسور التي تتحول إلى أعداد عشرية دورية؟

الكسر في أبسط صورة يعطي عددًا عشريًا منتهيًا إذا لم يكن لمقامه عوامل أولية غير 2 و5. وإذا كان للمقام أي عامل أولي آخر، مثل 3 أو 7 أو 11، فإن العدد العشري يتكرر إلى ما لا نهاية. وهذه طريقة سريعة لتعرف ما تتوقعه قبل أن تقسم.

مثال

انظر إلى 3/8. المقام 8 يساوي 2 × 2 × 2، إذن العدد العشري منتهٍ. 3/8 = 0.375. والآن انظر إلى 1/6. المقام 6 يساوي 2 × 3، والعدد 3 يعني أن العدد العشري دوري. 1/6 = 0.1666…. وبالطريقة نفسها، 1/7 = 0.142857142857…، والأرقام الستة تتكرر إلى ما لا نهاية، لأن 7 عدد أولي غير 2 و5.

وهذه القاعدة تفسّر أيضًا لماذا تغطي الطريقتان السابقتان كل الحالات. الأعداد العشرية المنتهية تأتي من كسور ليس في مقاماتها إلا العددان 2 و5، والأعداد العشرية الدورية تأتي من كل الكسور الأخرى. وفي الحالتين، العدد العشري المنتهي أو الدوري هو كسر في ثوب آخر.