Уравнение прямой с угловым коэффициентом y = kx + b по шагам

Чем удобно уравнение y = kx + b

Когда уравнение записано в таком виде, наклон и начальную точку видно сразу, и прямую можно набросать за несколько секунд. Ниже разберём, как читать это уравнение, как составить его по двум точкам или из другой записи и какие ошибки встречаются чаще всего.

Как найти уравнение прямой с угловым коэффициентом?

Чтобы составить уравнение, нужны два числа: угловой коэффициент k и свободный член b. Угловой коэффициент находят по двум точкам: k = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁). Затем подставляют одну точку и k в y = kx + b и находят b. В ответ записывают уравнение, где вместо k и b стоят ваши числа.

Пример

Найдите уравнение прямой, проходящей через точки (1, 5) и (3, 9).

1. Угловой коэффициент: k = (9 − 5) : (3 − 1) = 4 : 2 = 2
2. Подставляем точку (1, 5): 5 = 2 · 1 + b, значит, b = 3
3. Уравнение: y = 2x + 3
4. Проверка второй точкой (3, 9): 2 · 3 + 3 = 9. Всё сходится.

Такая проверка занимает десять секунд и ловит большинство ошибок, поэтому её стоит сделать привычкой.

Что делать, если угловой коэффициент дробный?

Дроби здесь совершенно нормальны, и дробь вовсе не значит, что вы ошиблись. Возьмём точки (4, 0) и (−2, 4). Угловой коэффициент равен (4 − 0) : (−2 − 4) = 4 : (−6) = −2/3. Тогда из 0 = −2/3 · 4 + b получаем b = 8/3, то есть y = −2/3x + 8/3. Проверка точкой (−2, 4): 4/3 + 8/3 = 12/3 = 4.

Оставляйте коэффициент обыкновенной дробью, а не округлённой десятичной: дробь точная, и проверка сойдётся идеально. Если вас тормозят именно дроби, несколько раундов в игре с дробями помогут гораздо быстрее находить равные дроби и сокращать их.

В раунде выше 7/10 = 70/100, потому что числитель и знаменатель умножили на 10.

Что означают k и b в уравнении y = kx + b?

В уравнении y = kx + b число k называют угловым коэффициентом, а b показывает, где прямая пересекает ось y. Угловой коэффициент говорит, на сколько меняется y, когда x увеличивается на 1. Число b равно значению y при x = 0, это точка (0, b), в которой прямая пересекает ось y.

Пример

В уравнении y = 3x − 2 угловой коэффициент равен 3, а b = −2. Прямая пересекает ось y в точке (0, −2), и каждый шаг на 1 вправо поднимает её на 3 вверх. В уравнении y = −2x + 4 угловой коэффициент равен −2, поэтому на каждый шаг вправо прямая опускается на 2, а ось y она пересекает в точке (0, 4).

Учебник OpenStax College Algebra 2e (на английском) описывает наклон как отношение подъёма к шагу по горизонтали («rise over run»), а точку пересечения с осью y как точку, где входное значение равно нулю. При положительном k прямая идёт вверх слева направо, при отрицательном вниз, и чем больше число по модулю, тем круче прямая.

Как представить k и b в жизни

Свеча высотой 20 см сгорает на 2 см за час. Её высота через t часов равна h = −2t + 20. Число 20 означает начальную высоту (b), а −2 показывает изменение за каждый час (k). Через 3 часа высота будет 14 см, а через 10 часов свеча сгорит полностью. Многим проще думать о b как о начальном значении, а о k как об изменении за один шаг.

Как построить график прямой y = kx + b?

Чтобы построить график y = kx + b, начните с точки (0, b) на оси y. Оттуда двигайтесь по угловому коэффициенту как по отношению подъёма к шагу. Сдвиньтесь вправо на величину шага и вверх на величину подъёма (или вниз, если k отрицательный), и вы получите вторую точку. Проведите прямую через обе точки и продлите её.

Пример

Постройте график y = 2x + 1.

1. Отметьте точку (0, 1) на оси y.
2. Угловой коэффициент 2 означает 2/1, поэтому шаг на 1 вправо и на 2 вверх. Попадаем в точку (1, 3).
3. Проведите прямую через (0, 1) и (1, 3).

Для коэффициента −2/3 сделайте 3 шага вправо и 2 вниз. Если брать знаменатель как шаг по горизонтали, вы всегда попадаете в узлы клетчатой сетки, и прямую легче начертить точно.

Как перейти от уравнения Ax + By = C к виду y = kx + b?

Чтобы привести уравнение вида Ax + By = C (это одна из записей общего уравнения прямой) к виду с угловым коэффициентом, выразите y. Перенесите слагаемое с x в другую часть, затем разделите все члены на число перед y. Число перед x и есть угловой коэффициент, а отдельно стоящее число равно b.

Пример

Преобразуйте 2x + 3y = 6.

1. Вычтите 2x из обеих частей: 3y = −2x + 6
2. Разделите все члены на 3: y = −2/3x + 2

Угловой коэффициент равен −2/3, а b = 2. Частая ошибка: считать угловым коэффициентом 2 прямо из 2x + 3y = 6. Числа означают k и b только тогда, когда y стоит один в одной из частей.

Уравнение через точку и угловой коэффициент или y = kx + b?

Уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом, y − y₁ = k(x − x₁), удобно, когда известны точка и k: его можно записать сразу. Для точки (1, 5) и k = 2 получаем y − 5 = 2(x − 1). Раскроем скобки и упростим, y = 2x − 2 + 5, и снова получим y = 2x + 3. Обе записи описывают одну и ту же прямую.

Какие прямые нельзя записать в виде y = kx + b?

Вертикальные прямые нельзя записать в виде y = kx + b. У всех точек вертикальной прямой одинаковый x, поэтому шаг по горизонтали равен 0, и для углового коэффициента пришлось бы делить на ноль. Поэтому угловой коэффициент вертикальной прямой не определён. Вертикальную прямую через x = 3 записывают просто как x = 3.

Пример

Точки (3, 1) и (3, 6) лежат на вертикальной прямой. Угловой коэффициент был бы (6 − 1) : (3 − 3) = 5 : 0, а на ноль делить нельзя. Значит, это прямая x = 3. К тому же вертикальная прямая никогда не пересекает ось y, если только сама не является осью y, так что числа b для неё тоже нет.

С горизонтальными прямыми всё в порядке. Точки (−1, 4) и (5, 4) дают угловой коэффициент 0 : 6 = 0, поэтому прямая y = 0x + 4, то есть просто y = 4.

Какие ошибки в уравнении y = kx + b встречаются чаще всего?

Чаще всего ошибаются не из-за непонимания, а по невнимательности. Путают координаты точки, вычитают в разном порядке в числителе и знаменателе формулы углового коэффициента или читают k и b, пока y ещё не выражен. Проверка готового уравнения одной из исходных точек ловит почти все такие ошибки.

Как исправить каждую ошибку

Вот промахи, которые повторяются снова и снова, и быстрый способ избежать каждого.

• Путаница x и y в точке. (5, 7) означает x = 5 и y = 7. Читайте «сначала вправо, потом вверх».
• Разный порядок вычитания. Если вверху 9 − 5, то внизу 3 − 1, и оба раза первой идёт одна и та же точка.
• Перепутанные k и b. В y = 4 + 3x угловой коэффициент всё равно 3, потому что k всегда стоит при x, где бы ни находилось это слагаемое.
• Потерянный минус. В y = −x + 2 угловой коэффициент равен −1, а не 1.
• Уверенность, что дробь означает ошибку. Коэффициенты 3/4 или −2/3 так же правильны, как 2.

Как тренировать уравнение y = kx + b до автоматизма

Быстро читать прямые учишься, когда видишь их много. В игре про линейные функции каждая атака связана с вопросом о прямой, поэтому вы много тренируетесь находить k и b, и это совсем не похоже на домашнее задание.

Нахождение b сводится к простому уравнению в одно действие. Если тормозит именно этот шаг, хорошей разминкой станет игра с уравнениями.

Буквы в разных странах разные. В англоязычных странах ту же идею записывают как y = mx + b, во Франции и Польше как y = ax + b, в Италии как y = mx + q. Какими бы ни были буквы, число перед x всегда задаёт угловой коэффициент, а отдельно стоящее число показывает, где прямая пересекает ось y.

Любую невертикальную прямую задают два числа

Любую прямую, кроме вертикальной, можно записать как y = kx + b, поэтому двух чисел достаточно, чтобы описать её полностью. Угловой коэффициент говорит, насколько она крутая и куда идёт, а b показывает, откуда она начинается. Найдите эти два числа, проверьте уравнение точкой, и дальше всё получится.