Equação reduzida da reta (y = mx + b) explicada passo a passo

Porque é que a equação reduzida da reta é tão útil

Quando uma equação está escrita desta forma, consegues ler diretamente o declive e o ponto de partida e esboçar a reta em segundos. A seguir vais ver como a ler, como a obter a partir de dois pontos ou de outra forma da equação, e os erros que mais se repetem.

Como se determina a equação reduzida da reta?

Para determinar a equação reduzida precisas de duas coisas, o declive m e a ordenada na origem b. O declive obtém-se a partir de dois pontos com m = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁). Depois substituis um ponto e o declive em y = mx + b e resolves em ordem a b. Escreve o resultado com os teus números no lugar de m e b.

Exemplo

Determina a reta que passa pelos pontos (1, 5) e (3, 9).

1. Declive: m = (9 − 5) : (3 − 1) = 4 : 2 = 2
2. Usa o ponto (1, 5): 5 = 2 × 1 + b, logo b = 3
3. Equação: y = 2x + 3
4. Verifica com o outro ponto (3, 9): 2 × 3 + 3 = 9. Está certo.

Esta verificação final demora dez segundos e apanha a maioria dos erros, por isso vale a pena torná-la um hábito.

E se o declive for uma fração?

As frações são perfeitamente normais aqui, e obter uma fração não quer dizer que te enganaste. Pega nos pontos (4, 0) e (−2, 4). O declive é (4 − 0) : (−2 − 4) = 4 : (−6) = −2/3. Então 0 = −2/3 × 4 + b dá b = 8/3, logo y = −2/3x + 8/3. Verifica com (−2, 4): 4/3 + 8/3 = 12/3 = 4.

Deixa o declive em forma de fração em vez de o arredondares a um decimal, porque a fração é exata e a verificação vai dar certinha. Se as frações são o que te atrasa, umas quantas rondas do jogo de frações tornam muito mais rápido encontrar frações equivalentes e simplificar.

Na ronda acima, 7/10 = 70/100, porque o numerador e o denominador são ambos multiplicados por 10.

O que significam m e b em y = mx + b?

Em y = mx + b, m é o declive e b é a ordenada na origem. O declive diz quanto varia y quando x aumenta 1, ou seja, quanto a reta sobe por cada unidade que avança. A ordenada na origem é o valor de y quando x = 0, que corresponde ao ponto (0, b) onde a reta corta o eixo Oy.

Exemplo

Em y = 3x − 2, o declive é 3 e a ordenada na origem é −2. A reta corta o eixo Oy em (0, −2), e cada passo de 1 para a direita fá-la subir 3. Em y = −2x + 4, o declive é −2, por isso a reta desce 2 por cada passo para a direita, e corta o eixo Oy em (0, 4).

O manual OpenStax College Algebra 2e (em inglês) descreve o declive como «o que sobe a dividir pelo que avança» e a ordenada na origem como o ponto em que o valor de entrada é zero. Um declive positivo sobe da esquerda para a direita, um declive negativo desce, e quanto maior for o número (sem contar com o sinal), mais inclinada é a reta.

Uma forma do dia a dia de imaginar m e b

Uma vela tem 20 cm de altura e gasta-se 2 cm por hora. A sua altura ao fim de t horas é h = −2t + 20. O 20 é o ponto de partida (b) e o −2 é quanto muda em cada hora (m). Ao fim de 3 horas tem 14 cm, e ao fim de 10 horas já se gastou toda. Muitos alunos acham mais fácil pensar em b como o valor inicial e em m como a variação em cada passo.

Como se representa graficamente uma reta a partir da equação reduzida?

Para representar y = mx + b, começa na ordenada na origem, o ponto (0, b) do eixo Oy. A partir daí, usa o declive como «o que sobe a dividir pelo que avança». Desloca-te para a direita o que avança e para cima o que sobe (ou para baixo se o declive for negativo) para encontrar um segundo ponto. Traça uma reta pelos dois pontos e prolonga-a.

Exemplo

Representa y = 2x + 1.

1. Marca a ordenada na origem (0, 1).
2. O declive 2 equivale a 2/1, por isso avança 1 para a direita e sobe 2. Chegas a (1, 3).
3. Traça a reta que passa por (0, 1) e (1, 3).

Com um declive como −2/3, avança 3 para a direita e desce 2. Se usares o denominador como avanço, cais sempre em pontos da quadrícula e é mais fácil desenhar a reta com rigor.

Como se passa da equação geral para a equação reduzida?

Para passar uma equação como Ax + By = C para a forma reduzida, resolve-a em ordem a y. Passa o termo em x para o outro membro e divide todos os termos pelo número que está antes de y. O número que está antes de x passa a ser o declive, e o número que fica sozinho é a ordenada na origem.

Exemplo

Converte 2x + 3y = 6.

1. Subtrai 2x a ambos os membros: 3y = −2x + 6
2. Divide todos os termos por 3: y = −2/3x + 2

O declive é −2/3 e a ordenada na origem é 2. Um deslize frequente é ler o declive como 2 diretamente em 2x + 3y = 6. Os números só indicam o declive e a ordenada na origem quando y está sozinho num dos membros.

Equação da reta dados um ponto e o declive, ou equação reduzida?

A equação da reta definida por um ponto e pelo declive, y − y₁ = m(x − x₁), é prática quando conheces um ponto e o declive, porque a podes escrever de imediato. Para o ponto (1, 5) e declive 2 obténs y − 5 = 2(x − 1). Desenvolve e simplifica, y = 2x − 2 + 5, e voltas a ter y = 2x + 3. As duas formas descrevem a mesma reta.

Que retas não podem ser escritas na forma reduzida?

As retas verticais não podem ser escritas na forma reduzida. Todos os pontos de uma reta vertical têm o mesmo x, por isso o avanço é 0 e calcular o declive implicaria dividir por zero. É por isso que o declive de uma reta vertical não está definido. A reta vertical que passa por x = 3 escreve-se simplesmente x = 3.

Exemplo

Os pontos (3, 1) e (3, 6) estão numa reta vertical. O declive seria (6 − 1) : (3 − 3) = 5 : 0, o que não tem resultado. Por isso, a reta é x = 3. Além disso, uma reta vertical nunca corta o eixo Oy, a não ser que seja o próprio eixo Oy, por isso não tem ordenada na origem para pôr no lugar de b.

As retas horizontais não dão problema. Os pontos (−1, 4) e (5, 4) dão um declive de 0 : 6 = 0, por isso a reta é y = 0x + 4, ou seja, simplesmente y = 4.

Quais são os erros mais comuns com a equação reduzida da reta?

A maioria dos erros com a equação reduzida são pequenos deslizes e não falta de compreensão. Trocam-se as coordenadas de um ponto, subtrai-se por ordens diferentes em cima e em baixo na fórmula do declive, ou leem-se m e b antes de y estar isolado. Verificar a equação final com um dos pontos iniciais apanha quase todos.

Soluções rápidas para cada deslize

Estes são os deslizes que aparecem vezes sem conta, com uma solução rápida para cada um.

• Trocar x e y num ponto. (5, 7) significa x = 5 e y = 7. Ao ler, pensa «primeiro na horizontal, depois na vertical».
• Mudar a ordem da subtração. Se em cima fizeres 9 − 5, em baixo faz 3 − 1, com o mesmo ponto em primeiro lugar das duas vezes.
• Trocar m e b. Em y = 4 + 3x o declive continua a ser 3, porque m é o número que acompanha x, esteja onde estiver.
• Perder um sinal menos. Em y = −x + 2 o declive é −1, não 1.
• Achar que uma fração tem de estar errada. Declives como 3/4 ou −2/3 são tão válidos como 2.

Praticar a equação reduzida até sair naturalmente

Ler retas depressa vem de ver muitas. No jogo de funções lineares, cada ataque é uma pergunta sobre uma reta, por isso praticas muito a identificar declives e ordenadas na origem sem que pareça trabalho de casa.

Resolver em ordem a b também é só uma pequena equação de um passo. Se é nesse passo que perdes tempo, o jogo de equações é um bom aquecimento.

As letras variam de país para país. Em Portugal escreve-se y = mx + b, tal como nos países de língua inglesa. No Brasil é habitual y = ax + b, em Espanha y = mx + n, em França e na Polónia y = ax + b, na Rússia y = kx + b e em Itália y = mx + q. Sejam quais forem as letras, o número que acompanha x é sempre o declive e o número que fica sozinho indica onde a reta corta o eixo Oy.

Dois números descrevem qualquer reta que não seja vertical

Qualquer reta que não seja vertical pode ser escrita como y = mx + b, por isso bastam dois números para a descrever por completo. O declive diz quão inclinada é e em que sentido vai, e a ordenada na origem diz onde começa. Encontra esses dois números, verifica a equação com um ponto e o resto vem por si.